7.1   二叉树

非线性数据结构

与链表类似，二叉树的基本单元是节点，每个节点包含值、左子节点引用和右子节点引用。

malloc是C语言标准库中的一个函数，用于动态分配内存。它的全称是“memory allocation”（内存分配）。malloc函数在运行时从堆（heap）中分配指定大小的内存块，并返回一个指向该内存块的指针。

/* 二叉树节点结构体 */
typedef struct TreeNode {
    int val;                // 节点值
    int height;             // 节点高度
    struct TreeNode *left;  // 左子节点指针
    struct TreeNode *right; // 右子节点指针
} TreeNode;

/* 构造函数 */
TreeNode *newTreeNode(int val) {
    TreeNode *node;

    node = (TreeNode *)malloc(sizeof(TreeNode));
    node->val = val;
    node->height = 0;
    node->left = NULL;
    node->right = NULL;
    return node;
}

在二叉树中，除叶节点外，其他所有节点都包含子节点和非空子树。

7.1.1   二叉树常见术语

• 根节点（root node）：位于二叉树顶层的节点，没有父节点。
• 叶节点（leaf node）：没有子节点的节点，其两个指针均指向 None 。
• 边（edge）：连接两个节点的线段，即节点引用（指针）。
• 节点所在的层（level）：从顶至底递增，根节点所在层为 1 。
• 节点的度（degree）：节点的子节点的数量。在二叉树中，度的取值范围是 0、1、2 。
• 二叉树的高度（height）：从根节点到最远叶节点所经过的边的数量。
• 节点的深度（depth）：从根节点到该节点所经过的边的数量。
• 节点的高度（height）：从距离该节点最远的叶节点到该节点所经过的边的数量。

根节点到叶节点之间的边的数量可以看作是根节点到叶节点的“距离”。每个叶节点到根节点之间的边的数量可能不同，而边数量最多的叶节点，就是“最远叶节点”。

通常将“高度”和“深度”定义为“经过的边的数量”，但有些题目或教材可能会将其定义为“经过的节点的数量”。在这种情况下，高度和深度都需要加 1 。

7.1.2   二叉树基本操作

1.   初始化二叉树

首先初始化节点，然后构建引用（指针）。

/* 初始化二叉树 */
// 初始化节点
TreeNode *n1 = newTreeNode(1);
TreeNode *n2 = newTreeNode(2);
TreeNode *n3 = newTreeNode(3);
TreeNode *n4 = newTreeNode(4);
TreeNode *n5 = newTreeNode(5);
// 构建节点之间的引用（指针）
n1->left = n2;
n1->right = n3;
n2->left = n4;
n2->right = n5;

2.   插入与删除节点

在二叉树中插入与删除节点可以通过修改指针来实现。

/* 插入与删除节点 */
TreeNode *P = newTreeNode(0);
// 在 n1 -> n2 中间插入节点 P
n1->left = P;
P->left = n2;
// 删除节点 P
n1->left = n2;

需要注意的是，插入节点可能会改变二叉树的原有逻辑结构，而删除节点通常意味着删除该节点及其所有子树。因此，在二叉树中，插入与删除通常是由一套操作配合完成的，以实现有实际意义的操作。

7.1.3   常见二叉树类型

1.   完美二叉树

叶节点的度为 0 ，其余所有节点的度都为 2 ；若树的高度为 ℎ ，则节点总数为 \(2^{ℎ+1}−1\)

2.   完全二叉树

只有最底层的节点未被填满，且最底层节点尽量靠左填充。

3.   完满二叉树

除了叶节点之外，其余所有节点都有两个子节点。

4.   平衡二叉树

任意节点的左子树和右子树的高度之差的绝对值不超过 1 。

7.1.4   二叉树的退化

当二叉树的每层节点都被填满时，达到“完美二叉树”；而当所有节点都偏向一侧时，二叉树退化为“链表”。

• 完美二叉树是理想情况，可以充分发挥二叉树“分治”的优势。
• 链表则是另一个极端，各项操作都变为线性操作，时间复杂度退化至 𝑂(𝑛)