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8.1   堆

堆（heap）是一种满足特定条件的完全二叉树，主要可分为两种类型，如图 所示。

  • 小顶堆（min heap）：任意节点的值 ≤ 其子节点的值。
  • 大顶堆（max heap）：任意节点的值 ≥ 其子节点的值。

堆作为完全二叉树的一个特例，具有以下特性。

  • 最底层节点靠左填充，其他层的节点都被填满。
  • 我们将二叉树的根节点称为“堆顶”，将底层最靠右的节点称为“堆底”。
  • 对于大顶堆（小顶堆），堆顶元素（根节点）的值是最大（最小）的。

8.1.1   堆的常用操作

堆通常用于实现优先队列，大顶堆相当于元素按从大到小的顺序出队的优先队列。

8.1.2   堆的实现

下文实现的是大顶堆。

1.   堆的存储与表示

堆是一种完全二叉树,用数组来存储堆

当使用数组表示二叉树时，元素代表节点值，索引代表节点在二叉树中的位置。节点指针通过索引映射公式来实现。

给定索引 𝑖 ，其左子节点的索引为 2𝑖+1 ，右子节点的索引为 2𝑖+2 ，父节点的索引为 (𝑖−1)/2（向下整除）。当索引越界时，表示空节点或节点不存在。

/* 获取左子节点的索引 */
int left(MaxHeap *maxHeap, int i) {
    return 2 * i + 1;
}

/* 获取右子节点的索引 */
int right(MaxHeap *maxHeap, int i) {
    return 2 * i + 2;
}

/* 获取父节点的索引 */
int parent(MaxHeap *maxHeap, int i) {
    return (i - 1) / 2; // 向下取整
}

2.   访问堆顶元素

首个元素 

/* 访问堆顶元素 */
int peek(MaxHeap *maxHeap) {
    return maxHeap->data[0];
}

3.   元素入堆

比较堆节点的val大小，以找到相应位置:堆化——修复从插入节点到根节点的路径上的各个节点

考虑从入堆节点开始，从底至顶执行堆化 

/* 元素入堆 */
void push(MaxHeap *maxHeap, int val) {
    // 默认情况下，不应该添加这么多节点
    if (maxHeap->size == MAX_SIZE) {
        printf("heap is full!");
        return;
    }
    // 添加节点
    maxHeap->data[maxHeap->size] = val;
    maxHeap->size++;

    // 从底至顶堆化
    siftUp(maxHeap, maxHeap->size - 1);
}

/* 从节点 i 开始，从底至顶堆化 */
void siftUp(MaxHeap *maxHeap, int i) {
    while (true) {
        // 获取节点 i 的父节点
        int p = parent(maxHeap, i);
        // 当“越过根节点”或“节点无须修复”时，结束堆化
        if (p < 0 || maxHeap->data[i] <= maxHeap->data[p]) {
            break;
        }
        // 交换两节点
        swap(maxHeap, i, p);
        // 循环向上堆化
        i = p;
    }
}

4.   堆顶元素出堆

  1. 交换堆顶与堆底元素
  2. 删除交换后的堆底元素
  3. 从根节点开始，从顶至底堆化
/* 元素出堆 */
int pop(MaxHeap *maxHeap) {
    // 判空处理
    if (isEmpty(maxHeap)) {
        printf("heap is empty!");
        return INT_MAX;
    }
    // 交换根节点与最右叶节点（交换首元素与尾元素）
    swap(maxHeap, 0, size(maxHeap) - 1);
    // 删除节点
    int val = maxHeap->data[maxHeap->size - 1];
    maxHeap->size--;
    // 从顶至底堆化
    siftDown(maxHeap, 0);

    // 返回堆顶元素
    return val;
}

/* 从节点 i 开始，从顶至底堆化 */
void siftDown(MaxHeap *maxHeap, int i) {
    while (true) {
        // 判断节点 i, l, r 中值最大的节点，记为 max
        int l = left(maxHeap, i);
        int r = right(maxHeap, i);
        int max = i;
        if (l < size(maxHeap) && maxHeap->data[l] > maxHeap->data[max]) {
            max = l;
        }
        if (r < size(maxHeap) && maxHeap->data[r] > maxHeap->data[max]) {
            max = r;
        }
        // 若节点 i 最大或索引 l, r 越界，则无须继续堆化，跳出
        if (max == i) {
            break;
        }
        // 交换两节点
        swap(maxHeap, i, max);
        // 循环向下堆化
        i = max;
    }
}