30.1

微分方程（Differential Equation）是含导数的方程，比如 $y^{\prime}=ky$，$k$ 为确定的常数。这个方程唯一的解为：$y=Ae^{kx},\quad A\in \mathbb{R}$。

因此有： $\(\begin{align} y^{\prime} &= A (ke^{kx})=k (Ae^{kx})=ky \\ y &= Ae^{kx} \\ \end{align}$\)

消去导数的唯一办法是对其求积分

微分方程的阶取决于最高阶数的阶

例 1：求解 $y^{\prime}=-2y,\quad y(0)=5$

SOLUTION 这是一个初值问题：已知初始条件 $y(0)=5$，和相关的微分方程，通过这两个条件来求无不定常数的解。

已知 $y^{\prime}=Ae^{kx}$ 是 $y^{\prime}=ky$ 的通解，令 $k=-2,\quad x=0,\quad y=5$ 代入有：

\[\begin{align} \begin{aligned} 5 &= Ae^{-2\times 0}, \quad A=5 \\ y &= 5 e^{-2 x} \end{aligned} \end{align}\]

对于一个二阶的 DE，需积分两次，得到两个不定常数。

30.2 如果能把一阶的 DE 中所有关于 $y$ 的部分（包括 $dy$）放在一边，所有关于 $x$ 的部分（包括 $dx$）放在另一边，则该 DE 是可分离变量。例如 $\frac{dy}{dx}=ky$ 可整理成： $$ \frac{1}{ky}dy=dx $$

又例如： $$ \begin{align} \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}-\cos^2(y)\cos(x)=0 \ \sec^2(y)\mathrm{d}y=\cos(x)\mathrm{d}x \end{aligned} \end{align} $$

现在继续计算的办法是两边加积分好并积分，然后整理求 $y$，则有： $$ \begin{align}

\end{align} $$

30.3 一阶线性方程是形如： $$ \frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x) $$

$p$ 和 $q$ 是关于 $x$ 的函数；一阶指的是 $y$ 的阶；线性指的是 $y,\quad y^\prime$ 的指数为 1。

30.4