01 级数的敛散性

例 3 证明调和级数 $$1\:+\frac12+\frac13\:+\:\cdots\:+\frac1n\:+\:\cdots $$ 是发散的。

证由 $\(\lim_{n\to\infty}u_n\:=\:\lim_{n\to\infty}\:\frac1n\:=\:0\:,$\) 无法用推论推出调和级数发散.但令$p=m$时，有 $\(\begin{aligned}\left|\begin{array}{c}u_{m+1}\:+\:u_{m+2}\:+\:\cdots\:+\:u_{2m}\end{array}\right|&=\:\left|\:\frac{1}{m\:+\:1}\:+\:\frac{1}{m\:+\:2}\:+\:\cdots\:+\:\frac{1}{2m}\:\right|\\&\geq\:\left|\:\frac{1}{2m}\:+\:\frac{1}{2m}\:+\:\cdots\:+\:\frac{1}{2m}\:\right|\\&=\frac12\:,\end{aligned}$\) 因此由定理 12.1,取$\varepsilon_0=\frac12$,对任何正整数$N$, 只要 $m> N$ 和 $p= m$就有(7)式成立，所以调和级数是发散的.

这个证明的思路是通过比较级的方法证明调和级数的发散性。下面我来详细解释一下证明的过程。

我们知道，要证明调和级数的发散性，可以通过比较级的方法，找到一个收敛级数或一个序列，使得其部分和大于调和级数的部分和。在这个证明中，我们选取了一个特定的序列。首先，我们注意到，当$n$趋向于无穷大时，$u_n$即$\frac{1}{n}$的极限是0。但是，仅凭此极限无法直接推出调和级数的发散性。

为了进行比较，在这个证明中，我们令$p=m$。这意味着我们选取了一个整数$m$，并考虑从第$m+1$项到第$2m$项之间的部分和。

接下来，我们计算这段部分和的绝对值。根据题目给出的式子，这段部分和可以表示为$u_{m+1}+u_{m+2}+...+u_{2m}$。

然后，我们使用一个不等式来估计这段部分和的绝对值。根据题目给出的式子，在不等式中，我们使用了$m$和$2m$之间的项的倒数，即$\frac{1}{m+1}+\frac{1}{m+2}+...+\frac{1}{2m}$。

接着，我们对这个不等式做了一个下界的估计。我们将所有$m$和$2m$之间的项的倒数都视为$\frac{1}{2m}$。由于总共有$2m-m=m$项，所以这些项的和至少大于等于$\frac{1}{2m}+\frac{1}{2m}+...+\frac{1}{2m}$，即$m$个$\frac{1}{2m}$的和。而$m$个$\frac{1}{2m}$的和就等于$\frac{m}{2m}=\frac{1}{2}$。根据题目中给出的定理12.1，当一个级数的部分和存在一个下界时，该级数发散。因此，我们得出结论，当$p=m$时，存在一个下界$\frac{1}{2}$，使得上述部分和的绝对值大于等于$\frac{1}{2}$。

最后，由于对于任意正整数$N$，只要选择$m>N$，即可满足式子(7)，即对于任意正整数$N$，存在$p=m$使得上述部分和的绝对值大于等于$\frac{1}{2}$。因此，根据比较级的方法，我们可以得出调和级数是发散的结论。

综上所述，调和级数是发散的。

———————————————————— Q:为什么使用了$m$和$2m$之间的项的倒数，以及下一步是怎么来的？ A:在这个证明中，我们使用了$m$和$2m$之间的项的倒数，即$\frac{1}{m+1}+\frac{1}{m+2}+...+\frac{1}{2m}$，来进行不等式的估计。选择这段部分的原因是由于$m$和$2m$之间的项的倒数是一个递减序列，而我们希望找到一个下界来比较。接下来，我们进行下一步的推导：

首先，我们观察到这段部分和$\frac{1}{m+1}+\frac{1}{m+2}+...+\frac{1}{2m}$由$m$个分数的和组成。

然后，我们对每个分数$\frac{1}{m+1}，\frac{1}{m+2}，...，\frac{1}{2m}$都作了一个估计。我们使用$\frac{1}{2m}$作为每个分数的估计值。这是一个保守估计，因为$\frac{1}{m+1}，\frac{1}{m+2}，...，\frac{1}{2m}$的实际值要大于$\frac{1}{2m}$。

接着，我们计算了这段部分和的下界。由于分数$\frac{1}{m+1}，\frac{1}{m+2}，...，\frac{1}{2m}$都被估计为$\frac{1}{2m}$，所以$m$个$\frac{1}{2m}$的和至少大于等于$\frac{1}{2m}+\frac{1}{2m}+...+\frac{1}{2m}$，即$m$个$\frac{1}{2m}$的和。而$m$个$\frac{1}{2m}$的和等于$\frac{m}{2m}=\frac{1}{2}$。

这个下界的估计表明，无论$m$取多少，上述部分和的绝对值至少大于等于$\frac{1}{2}$。

最后，由于对于任意正整数$N$，只要选择$m>N$，即可满足式子(7)，即对于任意正整数$N$，存在$p=m$使得上述部分和的绝对值大于等于$\frac{1}{2}$。因此，根据比较级的方法，我们可以得出调和级数是发散的结论。希望这样解释清楚了选择$m$和$2m$之间的项的倒数及下一步推导的过程。

———————————————————— Q:为什么要找下界，什么是下界 A:在这个证明中，我们通过找到一个下界来比较调和级数和另一个已知的级数或序列。下界是指一个数或序列，它小于或等于要比较的数或序列的每个元素。

为什么要找下界呢？因为如果我们能够找到一个已知收敛的级数或序列作为比较对象，并且我们发现调和级数的部分和的下界与该级数或序列的部分和相比较大，那么我们就可以得出结论，调和级数也是发散的。

在这个证明中，我们选择了$m$和$2m$之间的项的倒数$\frac{1}{m+1}+\frac{1}{m+2}+...+\frac{1}{2m}$来作为比较对象。我们希望找到一个下界，使得这段部分和的绝对值大于或等于这个下界。

通过估计这段部分和，并选择每个分数的估计值为$\frac{1}{2m}$，我们发现这个估计下界至少为$\frac{1}{2}$。也就是说，对于任何$m$，这段部分和的绝对值至少大于或等于$\frac{1}{2}$。

通过这样的比较，我们可以得出结论，无论选择多大的$m$，这段部分和的绝对值至少大于或等于$\frac{1}{2}$。根据比较级的方法，如果调和级数的部分和存在一个下界，即大于或等于某个数，那么调和级数就是发散的。

所以，找到下界的目的是为了将调和级数与一个已知发散的序列或级数进行比较，从而推断调和级数的发散性。在这个证明中，我们选择$m$和$2m$之间的项的倒数，并找到了一个下界$\frac{1}{2}$，从而得出调和级数的发散性的结论。

谢谢你的提问，如果还有其他问题，请随时向我提问。

———————————————————— Q:这个估计值是怎么估计的，为什么这样估计 A:实际上，在这个证明中，并没有给出这个估计值的具体计算过程。

在这个证明中，我们观察到$m$和$2m$之间的项的倒数$\frac{1}{m+1}+\frac{1}{m+2}+...+\frac{1}{2m}$是一个递减序列，也就是说，每一项都小于等于前一项。

为了做出一个下界的估计，我们希望选取一个值，使得每个分数$\frac{1}{m+1}，\frac{1}{m+2}，...，\frac{1}{2m}$都大于或等于这个值。在这个证明中，我们选择的估计值是$\frac{1}{2m}$。

为什么选择$\frac{1}{2m}$作为估计值呢？这是因为$\frac{1}{2m}$是$m$和$2m$之间的项的倒数中最小的一个分数。我们知道，$m$越大，$2m$之间的项的倒数越小。因此，选择$\frac{1}{2m}$作为估计值是一个比较保守的估计。

需要注意的是，这个估计值只是为了辅助我们进行比较，并没有严格的计算过程。重要的是观察到这个估计值的性质，即它是$m$和$2m$之间的项的倒数中最小的一个分数。通过这个性质，我们可以得出结论，这段部分和的绝对值至少大于或等于$\frac{1}{2}$。