02.05 The Chain Rule
假设要对一个复合函数求导
\[
F(x)=\sqrt{x^2+1}
\]
如果我们令 \(y=f(u)=\sqrt{ u }\)，令 \(u=g(x)=x^{2}+1\)，则可以写成 \(y=F(x)=f(g(x))\)，也就是 \(F=f\circ g\)。我们知道如何分别对 \(f\) 和 \(g\) 求导，所以有一个规则告诉我们如何用 \(f\) 和 \(g\) 的导数来找到 \(F=f\circ g\) 的导数将会很有用。
The Chain Rule
\[
F'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x) \tag{2}
\]
用莱布尼茨的符号表示，令 \(y=f(u),\quad u=g(x)\) ，则：
\[
\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx} \tag{3}
\]
\(\sin^2 x=(\sin x)^2\)，所以对 \(\sin^2 x\) 可以更快的求导： \(2\sin x\cos x\)
这时链式法则的一个特殊情况。假如 \(y=[\sin u]^u\)，则可以写成 \(y=f(u)=u^n \quad u=g(x)\)，通过链式法则+幂次法则，则有：
\[
\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}=nu^{n-1}\frac{du}{dx}=n[g(x)]^{n-1}g'(x)
\]
所以当 \(n\in R,\quad u=g(x)\) ，有：
The Power Rule Combined with the Chain Rule
\[
\frac{d}{dx}(u^n)=nu^{n-1}\frac{du}{dx} \tag{4}
\]
对于更多层的式子，链就完了：
$$ \frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx} \frac{dx}{dt}=\frac{dy}{du} \frac{du}{dx} \frac{dx}{dt}
$$