02.06 Implicit Differentiation

方程的两边同时对 \(x\) 进行微分，然后求解 \(y\) 的方程。 - 别忘记粘在一起要用乘积法则（相加） - 别忘记链式法则后的 \(dy/dx\)（链式法则是乘积法则的变体） - 能化简能提取公因式能好看尽量好看 - 看清楚式子和写整齐（哎我算到哪了??？）

为什么有隐函数求导？想象一下你正在将一个二元及以上的函数表示为一个变量能表达的表达式，如：\(x^{3}+y^{3}=6xy\)。纯手算有点难，借助计算机有：

\[ y=f(x)=\sqrt[3]{-\frac{1}{2}x^3+\sqrt{\frac{1}{4}x^6-8x^3}} + \sqrt[3]{-\frac{1}{2}x^3-\sqrt{\frac{1}{4}x^6-8x^3}} \]

以及：

\[ y=\frac{1}{2}\bigg[-f(x) \pm \sqrt{-3} \left(\sqrt[3]{-\frac{1}{2}x^3 + \sqrt{\frac{1}{4}x^6 - 8x^3 }} - \sqrt[3]{-\frac{1}{2}x^3 - \sqrt{\frac{1}{4}x^6 - 8x^3 }}\right)\bigg] \]

所以这是三条非常恐怖的式子。

在隐函数求导中，当你得到它的导数表达式时，你就能解决很多问题。比如哪一点有水平切线（导数为 0 时）；某一点的斜率/正切是多少（将坐标代入导数表达式）。

隐函数二阶导怎么做？再导一次。

EXAMPLE

求 \(y''\quad \text{当 }x^{4}+y^{4}=16\)

\[ y'=-\frac{x^3}{y^3} \tag{3} \]

再对（3）求导有： $$ \begin{aligned} y^{\prime\prime}& =\frac{d}{dx}\left(-\frac{x^{3}}{y^{3}}\right)=-\frac{y^{3} (d/dx)(x^{3}) - x^{3} (d/dx)(y^{3})}{(y^{3})^{2}} \ &=-\frac{y^{3}\cdot3x^{2}-x^{3}(3y^{2}y^{\prime})}{y^{6}}\ \text{将（3）代入有}\ &=-\frac{3x^2y^3-3x^3y^2\biggl(-\frac{x^3}{y^3}\biggr)}{y^6}\\&=-\frac{3(x^2y^4+x^6)}{y^7}=-\frac{3x^2(y^4+x^4)}{y^7}\ \text{又因为原式有：} \ &=y''= -\frac{3x^2(16)}{y^7}= -48 \frac{x^2}{y^7} \end{aligned} $$