对于一个复杂的函数（比如曲线），你想知道某一点的值，一般来说代入就能得到。但是对 $f(x)=x^{1/3}$ 求 $f(25)$ 的值，这就比较难算了，如果再算它附近的值，那就更难算了。

对于更一般的情况，我想算在 $a$ 附近的值，这时可以选择用线性函数 $L(x)$ 来计算，这样更好算。如图 1。

这个线性函数也就是切线方程，当 $x$ 接近 $a$ 时的近似。可以用点斜式来表达：

\[ y-f(a)=f'(a)(x-a) \]

整理有： $$ y=f(a)+f'(a)(x-a) $$

以及它的近似

\[ f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a) \tag{1} \]

这被称为 $f$ 在 $a$ 处的线性逼近或切线逼近。线性化是指 $f$ 在 $a$ 处的线性逼近。线性化的图像是这条切线的图象，也就是说，

\[ L(x)=f(a)+f'(a)(x-a) \tag{2} \]

这被称为 $f$ 在 $a$ 处的线性化。

（记得先求右侧的表达式）

EXAMPLE

比如，对于函数 $f(x)=\sqrt{ x+3 }$，你想找到它在点 $a=1$ 时的线性化，那就代入（2）式有：$L(x)=f(1)+f'(1)(x-1)=\frac{7}{4}+\frac{x}{4}$。

再比如，你想找到当点 $a$ 增加一点点或者减少一点点的函数值是多少，比如代入 $f(x)$ 有 $\sqrt{ 3.98 },\sqrt{ 4.05 }$，它们的函数值是多少时，那么就代入上面求出的线性化得出一个线性近似。

我的理解是：当你取 $a$ 作为想要近似的点时，得出来的线性化也是有范围的，在附近可能很接近，一旦远了，这个近似值会有一点点大的偏差，所以需要重新线性化。也就是说，你想近似哪个点，先找到离它近的一个点做线性化，再代入求值。

Differentials

线性近似背后的思想有时用微分的术语和符号来表述。

因 $dy / dx=f'(x)$，移项有：

\[ dy=f'(x)dx \]

因此 $dy$ 是因变量。

微分的几何意义如图 5 所示。它指的是，函数在变化时，相应的近似函数变化了多少。