极值可以找到最优解

Definition 1

令 $c$ 为定义域 $D$ 的一个实数，如果对于 $D$ 上所有 $x$ ： - $f(c)\ge f(x)$ ，则 $f(c)$ 是 $f$ 在 $D$ 上的绝对最大值 - $f(c)\le f(x)$ ，则 $f(c)$ 是 $f$ 在 $D$ 上的绝对最小值

定义 1 如图 1 所示

Definition 2

定义 2 如图 2 所示，局部是相对的，对于哪个区间里它最大/最小。

极值定理：如果 $f$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，则 $f$ 在区间上回取到绝对最大值和绝对最小值。因为连续且闭区间，意思是区间上都有对应的函数值，这些值拿出来比大小就知道谁大谁小了。

如果函数不连续或者定义域为开区间，则可能无法给出极大/小值，如图 9，10

极值定理没有告诉我们如何确定极值，但绝对最大值和最小值出现在局部最大值或最小值之间（直觉上来说是绝对最大值/最小值也可以是局部最大/大小，但反过来不行），所以我们先寻找局部极值。这是因为绝对最大值或最小值通常会在局部极值中出现。

图 11 展示了一个在 $c$ 处有局部极大值并在 $d$ 处有局部极小值的函数 $f$ 图像。在极大值和极小值点处切线是水平的，因此斜率为 0。我们知道导数代表斜率，所以在这些点导数为 0。

因此有

如果 $f$ 在 $c$ 处有局部最大/最小值，且 $f^{\prime}(c)$ 存在，则 $f^{\prime}(c)=0$。也就是斜率为零，平行于 $x$ 轴，在这个点的左右发生了转折。

但仅仅令 $f^{\prime}(c)=0$ 也不一定找到极值，或者极值对应的 $x$ 导数为 0。如图 13 所示，$|x|$ 在 0 处不可导，因为当 $x>0$ 时，$f^{\prime}(x)=1$ ；当 $x<0$ 时，$f^{\prime}(x)=-1$。

但你的确可以用 $f^{\prime}(c)=0$ 或者 $f^{\prime}(c)$ 不存在的那些数来寻找 $f$ 的极值，这个数称为关键点。这意味着，函数在局部极值点处的导数要么为零（切线平行于 $x$ 轴），要么不存在。

EXAMPLE 7 找出 $f(x)=x^{3/5}(4-x)$ 的关键点 SOLUTION $$ f^{\prime}(x)=\frac{12-8x}{5x^{2/5}} $$

因此，当 $12-8x=0$ 时， $f^{\prime}(x)=0$；解得 $x=\frac{3}{2}$，且在 $x=0$ 时，$f^{\prime}(x)$ 不存在（分母为 0）。

在数学中，我们不能对 0 开一个负指数的方根。这是因为 0 的任何非整数次幂都是未定义的，除非它是偶数次幂且结果为正数。

如图 14 所示：

用关键点表示费马定理，则有：

如果 $f$ 在 $c$ 处有局部最大/最小值，则 $c$ 是 $f$ 的一个关键点

要找到一个连续函数在闭区间上的绝对最大值或最小值，我们注意到它要么是局部的，要么在区间的端点。

找到一个连续函数在一个闭区间上的绝对最大值或最小值的方法： 1. 找出 $f$ 在区间 $(a,b)$ 的关键点，并计算相应的函数值 2. 计算区间端点 $a,b$ 的函数值 3. 最大的值是绝对最大值，最小的值是绝对最小值。