03.02 The Mean Value Theorem
Rolle’s Theorem
令 \(f\) 满足： 1. \(f\) 在 \([a,b]\) 连续。（想象一下如果只能取到开区间，那么函数图像在两端是取不到值，空空的，因此函数不是连续） 2. \(f\) 在 \((a,b)\) 可导。（在端点处谈论导数是没有意义的，因为导数的定义涉及到从两边接近该点，而在端点处只能从一侧接近。所以做题的时候要避开） 3. \(f(a)=f(b)\)
则 \((a,b)\) 中存在一个数 \(c\) 使得 \(f^{\prime}(c)=0\)，也就是无论什么形状的函数，只要满足上面条件，总有一处的导数为 0，它的切线平行于 \(x\) 轴
如图所示
EXAMPLE 1 想象一下你将一个小球向上抛掷，一定存在一个时刻小球飞到最高点，接着落下来，而这个转折的瞬间就是速度为 0，也就是 \(f^{\prime}(c)=0\)。
EXAMPLE 2 证明 \(x^{3}+x-1=0\) 存在一个实数根
SOLUTION 用 1.8.10 的中间值定理（在连续函数中，存在一个点 \(c\) 在区间 \((a,b)\) 满足 \(f(c)=u\)，这里的 \(u\) 为实数，也就是说在区间内有一个点能取到值，因为它是连续的）。令 \(f(x)=x^{3}+x-1\)，则有 \(f(0)=1<0,f(1)=1>0\) ，又因为 \(f\) 为多项式，因此它是连续的，所以根据中间值定理，存在一个在 0 和 1 之间的 \(c\) 点，使得 \(f^{\prime}(c)=0\)。因此给定方程存在一个根。
为了证明方程没有其它根，使用罗尔定理并采用反证法，假设它有两个根 \(a\) 和 \(b\)。由于 \(f\) 是多项式函数，它在 \((a, b)\) 上可导并且在 \([a, b]\) 上连续。因此，根据罗尔定理，存在 \(c \in (a, b)\)，使得 \(f^{\prime}(c)=0\)。但是，
因为 \(x^{2}\ge 0\)，所以 \(f^{\prime}(x)\) 永远不为 0，这就产生了矛盾。因此，方程不可能有两个实根。
我们对罗尔定理的主要用途是证明以下重要定理（拉格朗日中值定理，通过它可以在某个区间内找到一个点，该点的导数等于函数在该区间上的平均变化率。）
The Mean Value Theorem
令 \(f\) 满足： 1. \(f\) 在 \([a,b]\) 连续。 2. \(f\) 在 \((a,b)\) 可导。 且存在一个 \(c\) 在 \((a,b)\) 之间的数，使得
移项有： $$ f(b)-f(a)=f^{\prime}(c)(b-a) \tag{2} $$
如图所示
几何上来说，割线 (两点画出的直线) \(AB\) 的斜率为： $$ m_{AB}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \tag{3} $$
根据（1）有，图形上至少有一个点 \(P(c, f(c))\)，其切线的斜率与 \(AB\) 斜线的斜率相同。也就是说点 \(c\) 的斜率和整个函数的斜率是相等的。
- 左侧有一点，右侧有一点，它们都在曲线上且曲线连续，那么中间一定也有一个点在曲线上。
