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What Does \(f^{\prime}\) Say About \(f\) ?

增减测试

一阶导可以判断函数增减趋势 (区间内) - 斜率正,递增函数 - 斜率负,递减函数

EXAMPLE 1 找出 \(f(x)=3x^{4}-4x^{3}-12x^{2}+5\) 的增减区间

SOLUTION 先找关键点。怎么找?用费马定理:

\[ f'(x)=12x^{3}-12x^{2}-24x=12x^{2}(x-2)(x+1) \]

所以有三个关键点 \(x_{1}=0,x_{2}=2,x_{3}=-1\) 使得导数为 0,函数在该点有水平切线,也就是发生了转折。因此我们可以列一个表来查看函数在各个区间的变化:

Local Extreme Values

一阶导测试

假设 \(c\) 为连续函数 \(f\) 的关键点 - 如果 \(f'\)\(c\) 出从正变成负,则 \(f\)\(c\) 处有局部最大值 - 如果 \(f'\)\(c\) 出从负变成正,则 \(f\)\(c\) 处有局部最小值 - 如果 \(f'\)\(c\) 左右两侧都是正的,或者在 \(c\) 左右两侧都是负的,那么 \(f\)\(c\) 处没有局部最大值或最小值。

EXAMPLE 2 找出 EXAMPLE 1 的局部极值 根据例题 1 解答中的图表,我们看到 \(f'(x)\)\(−1\) 处从负变为正,所以根据第一导数测试,\(f'(-1) =0\) 是局部极小值。同样地,\(f'(x)\) 在 2 处也从负变为正,所以 \(f'(2)=-27\) 同样是一个局部极小值。如前所述,\(f(0)=5\) 是局部极大值,因为 \(f'(x)\) 在 0 处从正变为负。

What Does \(f^{\prime \prime}\) Say About \(f\) ?

二阶导可以理解为曲线斜率的变化率。假如不看它是二阶导,某个函数(一阶导)的导数(二阶导),那么这个导数就是描述函数的斜率。

如果函数在区间一阶导正且二阶导正,则函数图像在区间向上凹 如果函数在区间一阶导负且二阶导负,则函数图像在区间向下凹

定义

如果 \(f\) 的图像在区间 \(I\) 上高于其所有切线,则它被称为在 \(I\) 上向上凹。如果 \(f\) 的图像在区间 \(I\) 上低于其所有切线,则它被称为在 \(I\) 上向下凹。如图 6 显示。

切线:几何上,切线指的是一条刚好触碰到曲线上某一点的直线。

凹度测试

  • 如果对于 \(I\) 区间内的所有 \(x\)\(f′′(x)>0\),那么 \(f\) 的图形在 \(I\) 上向上凹。
  • 如果对于 \(I\) 区间内的所有 \(x\)\(f′′(x)<0\),那么 \(f\) 的图形在 \(I\) 上向下凹。

定义

如果 \(f\) 在点 \(P\) 处连续并且曲线在点 \(P\) 处从向上凹变为向下凹或从向下凹变为向上凹,则 \(P\) 称为拐点。 例如,在图7中,B、C、D和P是拐点。请注意,如果曲线在拐点处有切线,则曲线在那里穿过切线。考虑到凹度测试,在二阶导数改变符号的任何点都有一个拐点。