假设函数 \(f\) 在正/负区间无限延申，那么函数值 \(f(x)\) 有三种可能： - 趋于无穷 - 趋于负无穷 - 趋于某个值 \(L\)

如果是第三种可能的话，比如 \(\lim_{ x \to \infty } \frac{1}{x}\),，如图所示：

则称 \(y=0\) 为它的水平渐近线，\(L=0\)

Theorem 4

如果 \(r>0\) 是一个有理数，则

\[ \lim_{ x \to \infty } \frac{1}{x^{r}}=0 \]

趋于负无穷也是如此。

如何理解垂直渐近线？

EXAMPLE 4 找出 \(f(x)=\frac{\sqrt{ 2x^{2}+1 }}{3x-5}\) 的水平和垂直渐进线

Precise Definitions 5

在无穷时极限的精确定义，令 \(f\) 在区间 \((a, \infty)\)，则

\[ \lim_{ x \to \infty } f(x)=L \]

这意味着对于所有的 \(\varepsilon > 0\)，都有对应的一个数 \(N\) 使得：

\[ \mathrm{if}\quad x>N\quad\mathrm{then}\quad\left|f(x)-L\right|<\varepsilon \]

更小的 \(\varepsilon\) 则取更小的 \(N\)

对于负无穷也是如此

Precise Definitions 6

令 \(f\) 在区间 \((-\infty,a)\)，则

\[ \lim_{ x \to -\infty } f(x)=L \]

这意味着对于所有的 \(\varepsilon > 0\)，都有对应的一个数 \(N\) 使得：

\[ \mathrm{if}\quad x<N\quad\mathrm{then}\quad\left|f(x)-L\right|<\varepsilon \]

EXAMPLE