寻找极值的方法有许多实际应用。比如最优解问题，假设你有四根 1 cm 的棍子，怎么摆放才能使面积最大？摆成正方形：\(1\times 1=1\)；摆成长方形：\(1\times 2=2\)。

或者是更难一点的问题：最大化利润、最短路径、最大面积。

具体步骤分为： 1. 理解问题：未知量和已知量是什么？ 2. 绘图：根据已知和要求来建立起大概的图像 3. 引入记号：A——面积，t——时间 4. 表示函数，寻找变量对应的关系，给出定义域，解方程 5. 找最大最小值

EXAMPLE 1 一位农民有 2400 英尺的篱笆，想沿着一条直线河流围起一块矩形田地。他不需要沿着河岸设置篱笆。什么尺寸的田地面积最大？

可以看出数值不同对应的面积也不同

如图 2 所示，令 \(A\) 为面积，\(x,y\) 为高和宽，则有：

\[ A=xy \]

我们希望 \(A\) 以一元函数的形式表现，根据题目有 \(2x+y=2400\)，由此有 \(y=2400-2x\)，代入上方的公式有：

\[ A=x(2400-2x)=2400x-2x^{2} \quad 0\le x \le 1200 \]

则 \(A'=2400-4x\)，则关键点是取 \(A'=0\)，则 \(x=600\)。因此，\(A\) 的最大值要么出现在这个关键点处，要么出现在区间端点。代入有 \(A(600)=720000\)。所以当 \(x=600,\quad y=1200\) 时，有最大面积。

绝对极值的一阶导数测试

想象两个一元二次函数，一个开口向上一个开头向下；假设 \(c\) 为关键点，且函数在区间连续，则有 - 绝对最大值的情况，开头向下：当 \(x<c\) 时，\(f'(x)>0\)，\(x>c\) 时，\(f'(x)<0\)。也就是说关键点两侧斜率的变化，下同 - 绝对最小值的情况，开头向下：当 \(x<c\) 时，\(f'(x)<0\)，\(x>c\) 时，\(f'(x)>0\)