寻找极值的方法有许多实际应用。比如最优解问题，假设你有四根 1 cm 的棍子，怎么摆放才能使面积最大？摆成正方形：$1\times 1=1$；摆成长方形：$1\times 2=2$。

或者是更难一点的问题：最大化利润、最短路径、最大面积。

具体步骤分为： 1. 理解问题：未知量和已知量是什么？ 2. 绘图：根据已知和要求来建立起大概的图像 3. 引入记号：A——面积，t——时间 4. 表示函数，寻找变量对应的关系，给出定义域，解方程 5. 找最大最小值

EXAMPLE 1 一位农民有 2400 英尺的篱笆，想沿着一条直线河流围起一块矩形田地。他不需要沿着河岸设置篱笆。什么尺寸的田地面积最大？

可以看出数值不同对应的面积也不同

如图 2 所示，令 $A$ 为面积，$x,y$ 为高和宽，则有：

$$A=xy$$

我们希望 $A$ 以一元函数的形式表现，根据题目有 $2x+y=2400$，由此有 $y=2400-2x$，代入上方的公式有：

$$A=x(2400-2x)=2400x-2x^{2} \quad 0\le x \le 1200$$

则 $A'=2400-4x$，则关键点是取 $A'=0$，则 $x=600$。因此，$A$ 的最大值要么出现在这个关键点处，要么出现在区间端点。代入有 $A(600)=720000$。所以当 $x=600,\quad y=1200$ 时，有最大面积。

绝对极值的一阶导数测试

想象两个一元二次函数，一个开口向上一个开头向下；假设 $c$ 为关键点，且函数在区间连续，则有 - 绝对最大值的情况，开头向下：当 $x<c$ 时，$f'(x)>0$，$x>c$ 时，$f'(x)<0$。也就是说关键点两侧斜率的变化，下同 - 绝对最小值的情况，开头向下：当 $x<c$ 时，$f'(x)<0$，$x>c$ 时，$f'(x)>0$