04.02 The Definite Integral

\(i\) 是下标，表示的是第几个区间，\(x_{i}\) 为右端点（简化计算），所以第几个子区间的右端点可以通过 \(x_{i}=a+i\Delta x\) 来计算。

在使用积分符号替换极限和和式时，用 \(x\) 代替 \(x_{i}\)，用 \(dx\) 代替 \(\Delta x\)

Evaluating Integrals

一些代数公式

一些运算规则

The Midpoint Rule

右端点便于计算，但区间的中点作为样本点更精确，表示为 \(\bar{x_{i}}\)

Properties of the Definite Integral

反转区间：

如果在区间在同一位置 \(a=b\)，则 \(\Delta x=0\)，且：

积分的性质：

性质 1 的几何意义可以看作是函数为常数，而这个常数形成的线和区间共同形成的区域刚好可以用矩形的公式：

Comparison Properties of the Integral

性质 8 中， \(m\) 为最小值，\(M\) 为最大值