04.04 Indefinite Integrals and the Net Change Theorem
The Net Change Theorem
如图，\(x\) 轴为时间，\(y\) 轴为速度。想象一下这个图像是下午 2 点到 5 点汽车形式距离，2 点到 4 点向北行驶，很明显，4 点到 5 点则向南行驶。
当我们要求净位移的距离，也就是相对初始点走过的距离，则有：
\[\begin{aligned}
\int_{2}^{5} v (t)dt &= \int_{2}^{4} v (t)dt - \int_{4}^{5} v (t)dt \\
&= 80 - 30 \\
&= 50
\end{aligned}\]
而如果要求总行驶距离，则有：
\[\begin{aligned}
\int_{2}^{5} \left | v (t) \right | dt &= \int_{2}^{4} v (t)dt + \int_{4}^{5} v (t)dt \\
&= 80 + 30 \\
&= 110
\end{aligned}\]
也就是求它的绝对值。