04.05 The Substitution Rule

使用换元积分法时, 需要确保式子能改写成如下形式:

\[ \begin{aligned} &\int f(g(x))g^{\prime}(x)dx &\hfill (1) \\ \end{aligned} \]

直观上可以看作, 有一个需要求积分的复合函数, 例如 $\int 2x\sqrt{1+x^2}dx$, 观察或者动手求导试一下, 可得到 $1+x^2$ 求导为左侧式子 $2x$. 也就是说, 复合函数中, 有一个式子求导后是另一个式子的模样或者相差一个常数, 即可使用换元积分法.

令 $F^{\prime}=f$, 则 (1) 可改为:

\[ \begin{aligned} &\int F^{\prime}(g(x))g^{\prime}(x)dx=F(g(x))+C &\hfill(2) \\ \end{aligned} \]

这里的 $F^{\prime}$ 是什么意思?回顾一下积分的定义,求积分是求原函数.也就是说,积分下的式子也就是被积函数,是一个函数 (原函数) 求导后的一条式子, 现在的目的是要找到原函数. $F$ 是原函数, $F^{\prime}$ 是求导后的一条式子, 所有可以设 $F^{\prime}=f$.

对等式右侧进行求导, 常数 C 求导为 0, 根据链式求导法则有:

\[ \begin{aligned} &\frac{d}{dx}[F(g(x))]=F^{\prime}(g(x))\cdot g^{\prime}(x) &\hfill(3)\\ \end{aligned} \]

由 (3) 可得出, (2) 式的右侧是左侧的里头.

设 $u=g(x)$, (2) 式可变为:

\[ \begin{align*} \int F^{\prime}(g(x)g^{\prime}(x))dx &= F(g(x)) + C \hfill \\ &= F(u) + C \hfill \\ &= \int F^{\prime}(u)du \hfill \end{align*} \]

将 $F^{\prime}=f$ 换回:

\[ \begin{aligned} &\int f\left(g\left(x\right)g^{\prime}\left(x\right)\right)dx=\int f\left(u\right)du &\hfill(4) \end{aligned} \]

由此可得一条简化是 (4) 式, 这就是换元积分法, 目的在于使得略微复杂的积分式子转换成一条被积函数的变量和积分变量相应, 这样就容易找到对应的积分公式, 从而解出一道积分题.

回到上面的例子 $$ \int 2x\sqrt{1+x^2}dx $$

设

\[ \begin{aligned} &u = 1 + x^2\\ &du=2xdx\\ \end{aligned} \]

将 $u$, $du$ 代入原式有:

\[ \int \sqrt{u}du \]

原式的 $2x$ 移到 $dx$ 的左侧, 即可呈现 $du$ 的形式

根据积分表:

\[ \begin{equation} \int x^a \,\mathrm{d}{x} = \frac{1}{a + 1} x^{a + 1} + C \quad(a \in R, a \ne - 1) \end{equation} \]

则有:

\[ \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}+C \]

将 $u = 1 + x^2$ 代入, 结果为:

\[ \frac{2}{3} (1+x^2)^{\frac{3}{2}}+C \]

求完积分后可对结果进行求导, 用于验证是否为被积函数.

记得加上 C

以上是不定积分的食用方法，那么对于定积分呢？一种方法是先忽略积分上下限，求出不定积分后再代入（微积分基本定理）；而另外一种则是，使用换元法，同时需要把相应的积分上下改变。

令 $u=g(x),\quad du=g'(x)dx$，则有：

\[ \int_a^bf(g(x)) g'(x) dx=\int_{g(a)}^{g(b)}f(u) du \]

也就是说你要把相应的上下限代到 $u$ 的式子中得到新的上下限。并且，当你使用了 $u$ 作为变量，那么在求完积分后使用定理无需再使用 $x$ 这个变量和原先表达式。