05.01 Areas Between Curves

考虑两条曲线 \(f(x),g(x)\) 围成的面积 \(S\)

可以看出 \(f(x)>g(x)\)，则 \(S\) 的面积为 \(f(x)-g(x)\)（为什么是这样？想象一下 \(f(x)\) 向 \(y\) 轴下无限延长，这是 \(g(x)\) 截开了一部分，在两个函数中间的 \(S\) 就出来了）。

在 \(x\) 轴分出 \(n\) 个子区间，每个子区间的宽度为 \(\Delta x\)，高度为 \(f(x_{i}^{*})-g(x_{i}^{*})\)，\(x_{i}^{*}\) 为样本点（就是在区间中取一个点），则黎曼和为：

\[\sum_{i=1}^n\left[f(x_i^*)-g(x_i^*)\right]\Delta x\]

如图 2 所示

直观上它近似了 \(S\) 的面积。

为了更精确，取 \(n\to \infty\)，因此有：

\[A=\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{i=1}^n\left[f(x_i^*)-g(x_i^*)\right]\Delta x \tag{1}\]

这个意思是说，取 \(\Delta x\) 越来越小，\(n\) 越来越多，小区间的面积越精确，那么相加起来的面积就更精确地近似。

由定积分的定义有：

\[A=\int_a^b\begin{bmatrix}f(x)-g(x)\end{bmatrix}dx \tag{2}\]

解题 先找交点（解方程）、端点（解的值代入）和上下界

确定被积函数和积分变量。怎么确定？如图 3 所示，平面有 \(y=f(x)\) 的曲线，\(y\) 的值由 \(f(x)\) 决定，接着可以看到 \(x\) 轴上的 \([a,b]\) 区间，这是与 \(x\) 轴的交点。

所以，在图 3 中，被积函数是 \(y=f(x)\)，积分变量是 \(x\)。为什么是 \(x\) ？因为 \(y\) 随着 \(x\) 而变化，我们取 \(dx\) 是想看对应的 \(y\) 值是多少，这个 \(x\) 越小，得到的 \(y\) 值越精确，将它们加起来就越近似面积。

那为什么积分变量不能是 \(y\) 呢？首先从图上可看到 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 都是关于 \(x\) 的函数，选择 \(x\) 作为积分变量是一件很方便的事情。假如选择 \(y\) 进行积分，会很奇怪和很难，因为需要求处 \(x\) 关于 \(y\) 的表达式。

最后代入上下限时，可先代入上限求值，再计算下限，最后将两个相减得出结果。