05.02 Volumes

Definition of Volume

\(S\) 的体积 \(V\) 为： \(\(V=\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{i=1}^nA(x_i^*) \Delta x=\int\limits_a^bA(x) dx\)\)

让我们一步步来理解

首先，体积=底 x 高。如图我们可以看到一个三维空间的一个非圆柱形立体：

先从求一块体积开始，将立体 \(S\) 分割成一系列薄片，通过计算每个薄片的体积来估算总体积。薄片是指立体 \(S\) 在 \(x\) 位置处由垂直于 \(x\) 轴的平面切割而成的一个截面，面积由 \(A(x)\) 表示。\(P_{x}\) 是指平面一个垂直于 \(x\) 轴并通过点 \(x\) 的平面。这个平面用于切割立体 \(S\)，以便我们可以在特定位置 \(x\) 上观察到立体的截面。

接下来，我们将立体 \(S\) 想象成由无数个细长的圆柱组成（将图像逆时针旋转 90°，立着看），每个圆柱的底面积等于对应的截面 \(A(x)\)，高为 \(dx\)。这样，每个圆柱的体积可以表示为 \(A(x)\times dx\)。通过将这些圆柱的体积加起来，我们得到了立体的近似体积。当我们让 \(dx\) 趋近于零，也就是让圆柱的数量无限增加时，这个近似值就会收敛到立体的实际体积。

EXAMPLE 1 证明半径为 \(r\) 的球体的体积是 \(V=\frac{4}{3}\pi r^3\)

将球体的圆心放在原点，平面 \(P_{x}\) 与球体相交的圆，这个圆的半径为 \(\sqrt{ r^{2}+x^{2} }\)（勾股定理），如图 4 所示

所以横截面的面积为： $$ A(x)=\pi r^{2}=\pi y^{2}=\pi(r^{2}+x^{2}) $$

根据体积的定义和球体，上确界为 \(r\) ，下确界为 \(-r\)，也就是半径在原点向两端延长，则有：

\[\begin{aligned} \text{V}& =\int_{-r}^{r}A(x) dx=\int_{-r}^{r}\pi(r^{2}-x^{2}) dx \\ &=2\pi\int_0^r(r^2-x^2) dx \\ &=2\pi\Bigg[r^2x-\frac{x^3}3\Bigg]_0^r=2\pi(r^3-\frac{r^3}3) \\ &=\frac43\pi r^3 \end{aligned}\]

\(2\pi\) 是将下确界设为 0，计算两端 \(r\) 的体积也就是 2 个这样的积分。

如何解题？

例如：求由给定曲线界定的区域，通过围绕指定轴旋转而获得的立体体积

1. \(y=x^{3},y=x,x\ge 0\) ，关于 \(x\) 轴

SOLUTION

画图可得，在 \(0\le x\le 1\) 时，\(x^{3} \le x\)，如图所示

观察发现，如果关于 \(x\) 轴旋转，红色区域是空的，因此如果直接算它的面积 \(A(x)=\pi x^{2}\) 是行不通的，因为它把红色区域也算上了，因此要减掉 \(x^{3}\) 的区域（注意是两个面积相减而不是它们作差的平方），所以有

\[ A(x)=\pi (x)^{2}-\pi(x^{3})^{2}=\pi x^{2}-\pi x^{6}=\pi(x^{2}-x^{6}) $$  因此所求旋转体积为： $$ \int_{0}^{1} \pi(x^{2}-x^{6}) \, dx=\frac{4}{21}\pi \]

如果，截面面积设为 \(A(x)=\pi(x-x^{3})^2\) 代表了什么？它恰巧是红色区域的面积。（对吗？很遗憾并不是）