05.03 Volumes by Cylindrical Shells
考虑这样的一个图形，如何求它绕 \(y\) 轴形成的旋转体体积？
旋转后形成的图形，按照直觉来想中间是空一部分出来的，要计算体积，需要用图形的外圈体积减去内圈体积（圆环法）。又因为这个图形是绕 \(y\) 轴旋转的，所以它的半径是垂直于 \(y\) 轴的，因此从这个地方切片得到一个圆环（一个大圆盘挖去一个小同心圆盘剩下的部分），如图 1。
如果你想使用圆环法，你需要找到这个函数与 \(y\) 轴的交点，以便确定圆环的内外半径（如果按照 05.02 求体积，比如求一条曲线 \(y\) 关于 \(x\) 的函数，在 \(x\) 轴上方，绕 \(x\) 轴旋转得到的体积，同样是半径，但竖着的圆环会好求一点，你只需要求出 \(x\) 对应的 \(y\) 值就好）。这时候需要解 \(y=0\) 时，\(x\) 等于什么，原式 \(y=2x^{2}+x^{3}\)，解这条三次方程非常困难。因为用圆环法计算体积，你需要知道不同 \(y\) 值下的 \(x\)，这样你才能确定每一片圆环的内外半径。
图 1 用计算机模拟：
因此，有一种称为“圆柱壳法”的方法，图2显示了一个具有内半径 \(r_{1}\) 、外半径 \(r_{2}\) 和高度 \(h\) 的圆柱壳。
其体积 \(V\) 可以通过减去内部圆柱体的体积 \(V_{1}\) 来计算得出外部圆柱体的体积 \(V_{2}\)： \(\(\begin{aligned} \text{V}& =V_{2}-V_{1} \\ &=\pi r_{2}^{2} h- \pi r_{1}^{2}h= \pi(r_{2}^{2}- r_{1}^{2})h \\ &=\pi(r_2+r_1)(r_2-r_1)h \\ &=2\pi \frac{r_2 + r_1}2 h(r_2 - r_1) \end{aligned}\)\)
如果令 \(\Delta r=r_{2}-r_{1}\)（壳的厚度），\(r=\frac{1}{2}(r_{2}+r_{1})\)（壳的平均半径），则圆柱壳体积的公式变为（体积=周长 x 高 x 厚度，周长 x 厚度=底面积）：
令 \(S\) 为 \(y=f(x)\) （\(f(x)\ge 0\)）以 \(y\) 轴旋转得到的体积，\(y=0 \quad x=a \quad x=b\) ，\(b>a\ge 0\)：
我们将区间 \([a,b]\)