05.05 Average Value of a Function

\(f\) 在区间 \([a,b]\) 的平均值为：

\[ \begin{aligned}f_{\text{ave}}=\frac{1}{b - a}\int_{a}^{b}f(x) dx\end{aligned} \]

进一步，至少有一个点为 \(f(c)=f_{\text{ave}}\)，意思是说，总能找到一个点是这个积分的平均值：

\[ \begin{aligned} f (c) = f_{\mathrm{ave}} &= \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) dx \\ \int_{a}^{b} f (x) dx &= f (c)(b-a) \end{aligned}\]

也就是说，平均值乘上区间的长度等于原积分，几何上来说，你在 \(c\) 点分开面积，一侧多出来的面积总能填满一侧少的面积。