反函数的定义
原函数的定义域和值域，是反函数的值域和定义域。这是建立在一对一函数的基础上。
例如 \(f(x)=x^{3}\) 的反函数为 \(f^{-1}(x)=x^{1/3}\)，这是因为 \(y=x^{3},\quad x=y^{1/3}\)，所以有 \(f(x)=y^{1/3}\)，习惯上表达为：\(f^{-1}(x)=x^{1/3}\)，也就是将右侧的 \(y\) 替换成 \(x\)，和加上反函数符号。
如图所示，反函数的图像是以 \(y=x\) 对称的
这个公式的意思还是在说：原函数的定义域和值域，是反函数的值域和定义域。 $$ f^{-1}(x)=y\iff f(y)=x \tag{3} $$
同样的，A 是指定义域，B 是值域 $$ \begin{array}{ll}f^{-1}(f(x))=x&\text{for every }x\text{ in }A\\f(f^{-1}(x))=x&\text{for every }x\text{ in }B\end{array} \tag{4} $$
\(f^{-1}(y)\) 是指原函数定义域的 \(x\)，\(f(f^{-1}(x))\) 指的是原函数的值域。
Definition 1
\(f\) 具有 \(f(x_{1})\ne f(x_{2}),\quad x_{1} \ne x_{2}\)，则称为一对一函数。
抛物线则不是
一元三次方程是
如何求函数的反函数 \(f(f^{-1}(a))=a\)
The Calculus of inverse Functions
Theorem 6
如果一个一对一在区间上的连续函数，那么它的反函数也连续。
假设这个函数还是可导的，那么它的反函数也可导，如图 11 所示
如果 \(f(b)=a\) ，则 \(f^{-1}(a)=b\)，并且 \((f^{-1})'\) 是 \((f^{-1})\) 在点 \((a,b)\) 的切线的斜率，\(\Delta y/\Delta x\)（图像是以反函数为主导，也就是那先去看导数的视角看反函数）。而 \(f'= \Delta x/\Delta y\)，可以看出，反函数的导数是原函数导数的倒数，即对原函数的 \(x\) 某个点求导的倒数。
Theorem 7
如果 \(f\) 可导且一对一，并且 \(f'(b)\ne 0\)，那么 \(f^{-1}\) 在 \(a\) 点可导，（\(f(b)=f^{-1}(a)\)）则：
可以写成一般形式（熟记）： $$ (f^{-1})'(x)=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))} \tag{8} $$
如何解题？ 例如，\(f(x)=2x+\cos x\)，求 \((f^{-1})'(1)\)。 可以先求 \(f(x)=1\) 的情况，也就是 \(f(0)=1,\quad f^{-1}(1)=0\) ，根据（7）有： \(\((f^{-1})'(1)=\frac{1}{f'(f^{-1}(1))}=\frac{1}{f'(0)}=\frac{1}{2}\)\)