形如 f(x)=bx 的式子称之为指数函数,b 为正实数。
如果 x=n,则 bn=b×b⋯×b
如果 x=0,则 b0=1;如果 x=−n,n 为正整数,则 b−n=1bn。
如果 x 是一个有理数,x=pq, q,p 为整数,且 q>0,则 bx=bp/q=q√bp=(q√b)p
如果 x 是一个无理数呢?比如 2√3 ?
可以通过有理数来近似 1.73205<√3<1.73206
定义
一般来说,对于任何正数 b
任何无理数都可以用有理数来接近
如图所示,所以指数函数都穿过 (0,1) 点。 1. 当底为正整数(x>1)时,越大,函数增长的越快;0<x<1 时,越小增长的越快 2. 前者递增,后者递减
Theorem 2
指数的极限法则
可根据图 6 记忆
Derivatives of Exponential Functions
用导数定义对 f(x)=b^{x} 求导
因为 b^{x} 不依赖于 h,所以可将其提出来,则有:
又因为这是一个 h\to 0 的极限,也就是 f 在 x=0 处的导数值,也就是:
这意味着,如果我们证明指数函数在 0 处可导,则处处可导(替换,因为上面推导出下面这条式子):
这个方程表明任何指数函数的变化率与其自身成比例(斜率与高度成比例)。
举例说明,当 h\to 0 时,两个函数的值
在 b=2 和 b=3 中,似乎有一个介于之间的数字,使得 f'(0)=1:这就是 e
数字 e 的定义
几何上讲,这意味着在所有可能的指数函数 y=b^x 中,函数 f(x)=e^x 是其在点 (0, 1) 的切线斜率为 f′(0)=1 的那个函数。(参见图 12 和 13。)我们称函数 f(x)=e^x 为自然指数函数。
自然指数函数的导数
积分
例题 解 \lim_{x\to\infty} (e^{-2x}\cos x) 由题意有 -1<\cos x<1\quad e^{-2x}>0,所以有 -e^{-2x}<e^{-2x}\cos x<e^{-2x}。
\lim_{x\to\infty} e^{-2x}=0 \quad \lim_{x\to\infty} -e^{-2x}=0(想象一下原先的函数值 \times -1,整个函数值过来),所以根据三明治定理有 \lim_{x\to\infty} (e^{-2x}\cos x)=0