形如 \(f(x)=b^{x}\) 的式子称之为指数函数，\(b\) 为正实数。

如果 \(x=n\)，则 \(b^{n}=b\times b\cdots\times b\)

如果 \(x=0\)，则 \(b^{0}=1\)；如果 \(x=-n\)，\(n\) 为正整数，则 \(b^{-n}=\frac{1}{b^{n}}\)。

如果 \(x\) 是一个有理数，\(x=\frac{p}{q}\)， \(q,\quad p\) 为整数，且 \(q>0\)，则 \(b^x=b^{p/q}=\sqrt[q]{b^p}=\left(\sqrt[q]{b}\right)^p\)

如果 \(x\) 是一个无理数呢？比如 \(2^{\sqrt{ 3 }}\) ？

可以通过有理数来近似 \(1.73205 < \sqrt{ 3 } < 1.73206\)

定义

一般来说，对于任何正数 \(b\)

\[ b^x=\lim\limits_{r\to x}b^r\quad r\text{ rational} \]

任何无理数都可以用有理数来接近

如图所示，所以指数函数都穿过 \((0,1)\) 点。 1. 当底为正整数（\(x>1\)）时，越大，函数增长的越快；\(0<x<1\) 时，越小增长的越快 2. 前者递增，后者递减

Theorem 2

\[1. b^{x+y}=b^{x}b^{y}\quad2. b^{x-y}=\frac{b^{x}}{b^{y}}\quad3. (b^{x})^{y}=b^{xy}\quad4. (ab)^{x}=a^{x}b^{x}\]

指数的极限法则

\[\begin{align} \mathrm{If}\quad b>1,\mathrm{then}\quad\operatorname*{lim}_{x\to\infty}b^{x}=\infty\quad\mathrm{and}\quad\operatorname*{lim}_{x\to-\infty}b^{x}=0 \\ \\\mathrm{If}\quad 0<b<1,\mathrm{then}\quad\operatorname*{lim}_{x\to\infty}b^{x}=0\quad\mathrm{and}\quad\operatorname*{lim}_{x\to-\infty}b^{x}=\infty \end{align}\]

可根据图 6 记忆

Derivatives of Exponential Functions

用导数定义对 \(f(x)=b^{x}\) 求导

\[ f^{\prime}(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{b^{x+h}-b^{x}}{h}\\=\lim_{h\to0}\frac{b^xb^h-b^x}h=\lim_{h\to0}\frac{b^x(b^h-1)}h \]

因为 \(b^{x}\) 不依赖于 \(h\)，所以可将其提出来，则有：

\[ f'(x)=b^x\lim_{h\to0}\frac{b^h-1}h \]

又因为这是一个 \(h\to 0\) 的极限，也就是 \(f\) 在 \(x=0\) 处的导数值，也就是：

\[ \lim_{h\to0}\frac{b^h-1}h=f'(0) \]

这意味着，如果我们证明指数函数在 0 处可导，则处处可导（替换，因为上面推导出下面这条式子）：

\[ f'(x)=f'(0)b^{x} \tag{4} \]

这个方程表明任何指数函数的变化率与其自身成比例（斜率与高度成比例）。

举例说明，当 \(h\to 0\) 时，两个函数的值

\[\begin{align} \mathrm{for~}b=2,\quad f'(0)=\lim_{h\to0}\frac{2^h-1}{h}\approx0.69\\\mathrm{for~}b=3,\quad f'(0)=\lim_{h\to0}\frac{3^h-1}{h}\approx1.10 \end{align}\]

在 \(b=2\) 和 \(b=3\) 中，似乎有一个介于之间的数字，使得 \(f'(0)=1\)：这就是 \(e\)

数字 \(e\) 的定义

\[ \lim_{ h \to 0 } \frac{e^h-1}{h}=1 \]

几何上讲，这意味着在所有可能的指数函数 \(y=b^x\) 中，函数 \(f(x)=e^x\) 是其在点 \((0, 1)\) 的切线斜率为 \(f′(0)=1\) 的那个函数。（参见图 12 和 13。）我们称函数 \(f(x)=e^x\) 为自然指数函数。

自然指数函数的导数

\[ \frac{d}{dx}(e^{x})=e^{x} \]

积分

\[\int e^x dx=e^x + C\]

例题 解 \(\lim_{x\to\infty} (e^{-2x}\cos x)\) 由题意有 \(-1<\cos x<1\quad e^{-2x}>0\)，所以有 \(-e^{-2x}<e^{-2x}\cos x<e^{-2x}\)。

\(\lim_{x\to\infty} e^{-2x}=0 \quad \lim_{x\to\infty} -e^{-2x}=0\)（想象一下原先的函数值 \(\times -1\)，整个函数值过来），所以根据三明治定理有 \(\lim_{x\to\infty} (e^{-2x}\cos x)=0\)