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形如 f(x)=bx 的式子称之为指数函数,b 为正实数。

如果 x=n,则 bn=b×b×b

如果 x=0,则 b0=1;如果 x=nn 为正整数,则 bn=1bn

如果 x 是一个有理数,x=pqq,p 为整数,且 q>0,则 bx=bp/q=qbp=(qb)p

如果 x 是一个无理数呢?比如 23

可以通过有理数来近似 1.73205<3<1.73206

定义

一般来说,对于任何正数 b

bx=lim

任何无理数都可以用有理数来接近

如图所示,所以指数函数都穿过 (0,1) 点。 1. 当底为正整数(x>1)时,越大,函数增长的越快;0<x<1 时,越小增长的越快 2. 前者递增,后者递减

Theorem 2

1. b^{x+y}=b^{x}b^{y}\quad2. b^{x-y}=\frac{b^{x}}{b^{y}}\quad3. (b^{x})^{y}=b^{xy}\quad4. (ab)^{x}=a^{x}b^{x}

指数的极限法则

\begin{align} \mathrm{If}\quad b>1,\mathrm{then}\quad\operatorname*{lim}_{x\to\infty}b^{x}=\infty\quad\mathrm{and}\quad\operatorname*{lim}_{x\to-\infty}b^{x}=0 \\ \\\mathrm{If}\quad 0<b<1,\mathrm{then}\quad\operatorname*{lim}_{x\to\infty}b^{x}=0\quad\mathrm{and}\quad\operatorname*{lim}_{x\to-\infty}b^{x}=\infty \end{align}

可根据图 6 记忆

Derivatives of Exponential Functions

用导数定义对 f(x)=b^{x} 求导

f^{\prime}(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{b^{x+h}-b^{x}}{h}\\=\lim_{h\to0}\frac{b^xb^h-b^x}h=\lim_{h\to0}\frac{b^x(b^h-1)}h

因为 b^{x} 不依赖于 h,所以可将其提出来,则有:

f'(x)=b^x\lim_{h\to0}\frac{b^h-1}h

又因为这是一个 h\to 0 的极限,也就是 fx=0 处的导数值,也就是:

\lim_{h\to0}\frac{b^h-1}h=f'(0)

这意味着,如果我们证明指数函数在 0 处可导,则处处可导(替换,因为上面推导出下面这条式子):

f'(x)=f'(0)b^{x} \tag{4}

这个方程表明任何指数函数的变化率与其自身成比例(斜率与高度成比例)。

举例说明,当 h\to 0 时,两个函数的值

\begin{align} \mathrm{for~}b=2,\quad f'(0)=\lim_{h\to0}\frac{2^h-1}{h}\approx0.69\\\mathrm{for~}b=3,\quad f'(0)=\lim_{h\to0}\frac{3^h-1}{h}\approx1.10 \end{align}

b=2b=3 中,似乎有一个介于之间的数字,使得 f'(0)=1:这就是 e

数字 e 的定义

\lim_{ h \to 0 } \frac{e^h-1}{h}=1

几何上讲,这意味着在所有可能的指数函数 y=b^x 中,函数 f(x)=e^x 是其在点 (0, 1) 的切线斜率为 f′(0)=1 的那个函数。(参见图 12 和 13。)我们称函数 f(x)=e^x 为自然指数函数。

自然指数函数的导数

\frac{d}{dx}(e^{x})=e^{x}

积分

\int e^x dx=e^x + C

例题 解 \lim_{x\to\infty} (e^{-2x}\cos x) 由题意有 -1<\cos x<1\quad e^{-2x}>0,所以有 -e^{-2x}<e^{-2x}\cos x<e^{-2x}

\lim_{x\to\infty} e^{-2x}=0 \quad \lim_{x\to\infty} -e^{-2x}=0(想象一下原先的函数值 \times -1,整个函数值过来),所以根据三明治定理有 \lim_{x\to\infty} (e^{-2x}\cos x)=0