形如 $f(x)=b^{x}$ 的式子称之为指数函数，$b$ 为正实数。

如果 $x=n$，则 $b^{n}=b\times b\cdots\times b$

如果 $x=0$，则 $b^{0}=1$；如果 $x=-n$，$n$ 为正整数，则 $b^{-n}=\frac{1}{b^{n}}$。

如果 $x$ 是一个有理数，$x=\frac{p}{q}$， $q,\quad p$ 为整数，且 $q>0$，则 $b^x=b^{p/q}=\sqrt[q]{b^p}=\left(\sqrt[q]{b}\right)^p$

如果 $x$ 是一个无理数呢？比如 $2^{\sqrt{ 3 }}$ ？

可以通过有理数来近似 $1.73205 < \sqrt{ 3 } < 1.73206$

定义

一般来说，对于任何正数 $b$

$$b^x=\lim\limits_{r\to x}b^r\quad r\text{ rational}$$

任何无理数都可以用有理数来接近

如图所示，所以指数函数都穿过 $(0,1)$ 点。 1. 当底为正整数（$x>1$）时，越大，函数增长的越快；$0<x<1$ 时，越小增长的越快 2. 前者递增，后者递减

Theorem 2

$$1. b^{x+y}=b^{x}b^{y}\quad2. b^{x-y}=\frac{b^{x}}{b^{y}}\quad3. (b^{x})^{y}=b^{xy}\quad4. (ab)^{x}=a^{x}b^{x}$$

指数的极限法则

$$\begin{align} \mathrm{If}\quad b>1,\mathrm{then}\quad\operatorname*{lim}_{x\to\infty}b^{x}=\infty\quad\mathrm{and}\quad\operatorname*{lim}_{x\to-\infty}b^{x}=0 \\ \\\mathrm{If}\quad 0<b<1,\mathrm{then}\quad\operatorname*{lim}_{x\to\infty}b^{x}=0\quad\mathrm{and}\quad\operatorname*{lim}_{x\to-\infty}b^{x}=\infty \end{align}$$

可根据图 6 记忆

Derivatives of Exponential Functions

用导数定义对 $f(x)=b^{x}$ 求导

$$f^{\prime}(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{b^{x+h}-b^{x}}{h}\\=\lim_{h\to0}\frac{b^xb^h-b^x}h=\lim_{h\to0}\frac{b^x(b^h-1)}h$$

因为 $b^{x}$ 不依赖于 $h$，所以可将其提出来，则有：

$$f'(x)=b^x\lim_{h\to0}\frac{b^h-1}h$$

又因为这是一个 $h\to 0$ 的极限，也就是 $f$ 在 $x=0$ 处的导数值，也就是：

$$\lim_{h\to0}\frac{b^h-1}h=f'(0)$$

这意味着，如果我们证明指数函数在 0 处可导，则处处可导（替换，因为上面推导出下面这条式子）：

$$f'(x)=f'(0)b^{x} \tag{4}$$

这个方程表明任何指数函数的变化率与其自身成比例（斜率与高度成比例）。

举例说明，当 $h\to 0$ 时，两个函数的值

$$\begin{align} \mathrm{for~}b=2,\quad f'(0)=\lim_{h\to0}\frac{2^h-1}{h}\approx0.69\\\mathrm{for~}b=3,\quad f'(0)=\lim_{h\to0}\frac{3^h-1}{h}\approx1.10 \end{align}$$

在 $b=2$ 和 $b=3$ 中，似乎有一个介于之间的数字，使得 $f'(0)=1$：这就是 $e$

数字 $e$ 的定义

$$\lim_{ h \to 0 } \frac{e^h-1}{h}=1$$

几何上讲，这意味着在所有可能的指数函数 $y=b^x$ 中，函数 $f(x)=e^x$ 是其在点 $(0, 1)$ 的切线斜率为 $f′(0)=1$ 的那个函数。（参见图 12 和 13。）我们称函数 $f(x)=e^x$ 为自然指数函数。

自然指数函数的导数

$$\frac{d}{dx}(e^{x})=e^{x}$$

积分

$$\int e^x dx=e^x + C$$

例题 解 $\lim_{x\to\infty} (e^{-2x}\cos x)$ 由题意有 $-1<\cos x<1\quad e^{-2x}>0$，所以有 $-e^{-2x}<e^{-2x}\cos x<e^{-2x}$。

$\lim_{x\to\infty} e^{-2x}=0 \quad \lim_{x\to\infty} -e^{-2x}=0$（想象一下原先的函数值 $\times -1$，整个函数值过来），所以根据三明治定理有 $\lim_{x\to\infty} (e^{-2x}\cos x)=0$