如果 \(b>0,\quad b \ne 1\)，则指数函数 \(f(x)=b^x\) 要么递增要么递降，所以它是一个一对一的函数，具有反函数的性质：\(f^{-1}\)，称之为以 \(b\) 为底的对数函数，记作 \(\log_{b}\)。如果使用反函数的公式（定义域值域对换）：

\[ f^{-1}(x)=y\iff f(y)=x \]

则有：

\[ \log_{b}{x}=y \iff b^{y}=x \tag{1} \]

因此，如果 \(x>0\)，\(y\) 是这样的一个指数，使得 \(b^{y}=x\)。也就是说，\(y\) 是方程 \(b^{y}=x\) 的解。

因此有： $$ \begin{aligned}\log_b(b^x)&=x\quad\text{for every } x\in\mathbb{R}\b^{\log_bx}&=x\quad\text{for every } x>0\end{aligned} \tag{2} $$

对数函数增长得比较缓慢

Theorem 3

如果 \(b>1\)，则对数函数在定义域 \((0,\infty)\) 和值域 \(\mathbb{R}\)，一对一、连续、且递增。如果 \(x,y>0\)，\(r\) 为任意实数，则有：

\[ \begin{aligned}&\mathbf{1.} \log_{b}(xy)=\log_{b}x + \log_{b}y\\&2. \log_{b}\biggl(\frac{x}{y}\biggr)=\log_{b}x - \log_{b}y\\&3. \log_{b}(x^{r})=r\log_{b}x\end{aligned} \]

如果 \(b>1\)，则有：

\[ \lim_{x\to\infty}\log_bx=\infty\quad\text{and}\quad\lim_{x\to0^+}\log_bx=-\infty \tag{4} \]

可根据图 1 记忆。特别地， \(y\) 轴是 \(y=\log_{b}x\) 的垂直渐进线。

Natural Logarithms

以 \(e\) 为底的对数

\[\begin{matrix}\log_ex=\ln x\end{matrix}\]

具有以下性质：

\[ \ln x=y\quad\Longleftrightarrow\quad e^y=x \tag{5} \]

根据对数的性质也有：

\[ \begin{aligned}\ln(e^x)&=x\quad&x\in\mathbb{R}\\[1ex]e^{\ln x}&=x\quad&x>0\end{aligned} \tag{6} \]

特别的，如果将（6）的第一条的 \(x=1\)，则有： $$ \ln e =1 $$

（6）的第二条可以用于简化求指数，比如求 \(\ln x=5\) 的 \(x\)，这时可以两边取对数，也就是 \(e^{\ln x}=e^5\)，又因为（6.2），所以有 \(x=e^5\)。

（7）表示了对数任何底都可以表达成自然对数的形式

Change of Base Formula

对于任何正数 \(b\)，\(b\ne1\)，则有：

\[ \log_bx=\frac{\ln x}{\ln b} \]

Graph and Growth of the natural Logarithm

由（4）式有：

\[ \lim\limits_{x\to\infty}\ln x=\infty\quad\lim\limits_{x\to0^+}\ln x=-\infty \tag{8} \]

自然对数比任何正数次幂的 \(x\) 增长都要缓慢