任何正实数 \(b\) 都可以表示为 \(e\) 的某个幂的形式，即 \(b=e^{\ln b}\)
自然对数的导数：
$$
\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x} \tag{1}
$$
PROOF
令 \(y=\ln x\)，两边取对数，则有：
$$
e^y=x
$$
两边对 \(x\) 求导：
\[
\frac{dy}{dx}e^y=1
\]
移项有：
\[
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{e^y}=\frac{1}{x}
\]
EXAMPLE 1
求导：\(y=\ln(x^{3}+1)\)
SOLUTION
令 \(u=x^{3}+1\)，则 \(y=\ln u\)，根据链式求导法则有：
\[
\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du} \frac{du}{dx}=\frac{1}{u} (3x^{2})=\frac{3x^{2}}{x^{3}+1}
\]
所以（1）可以变为：
\[
\frac{d}{dx}(\ln u)=\frac{1}{u} \frac{du}{dx} \quad or \quad \frac{d}{dx}[\ln g(x)]=\frac{g'(x)}{g(x)} \tag{2}
\]
EXAMPLE 5
求 \(f(x)=x^{2}\ln x\) 的绝对最小值
SOLUTION
定义域是 \((0,\infty)\)，根据乘积法则有：
\[
f'(x)=x^{2}\times \frac{1}{x}+2x\ln x=x(1+2\ln x)
\]
当 \(x=e^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt{e}}\) 时，\(f'(x)=0\)。还有，当 \(x>\frac{1}{\sqrt{e}}\)，\(f'(x)>0\)，当 \(0<x<\frac{1}{\sqrt{e}}\)，\(f'(x)<0\) 。所以，根据一阶导测试，左侧斜率为负，右侧斜率为正，函数在该点取得最小值，因此 \(f\left( \frac{1}{\sqrt{e}} \right)=-\frac{1}{2e}\) 是绝对最小值。
EXAMPLE 7
如果 \(f(x)=\ln|x|\)，求 \(f'(x)\)
SOLUTION
分段函数有当 \(x<0\) 时，绝对值是 \(-x\)：
\[
f(x)=\begin{cases}\ln x&\text{if } x>0\\\ln(-x)&\text{if } x<0\end{cases}
\]
则有：
\[
f'(x)=\begin{cases}\frac{1}{x}&\text{if }x>0\\[2ex]\frac{1}{-x}(-1)=\frac{1}{x}&\text{if }x<0\end{cases}
\]
因此：
\[
\frac{d}{dx}\big(\ln\big|x\big|\big)=\frac{1}{x} \tag{3}
\]
对应的积分公式为：
\[
\int\frac{1}{x} dx=\ln\big| x \big| + C \tag{4}
\]
EXAMPLE 11
求 \(\int \tan xdx\)
SOLUTION
\[
\int \tan xdx=\int \frac{\sin x}{\cos x}dx
\]
令 \(u=\cos x\)，因为 \(du=-\sin xdx \quad \sin xdx=-du\)，所以式子变为：
\[
\int \frac{\sin x}{\cos x}dx=-\int \frac{1}{u}du=-\ln|u|+c=-\ln|\cos x|+c
\]
又因为 \(-\ln|\cos x|=\ln(|\cos x|)^{-1}=\ln\left( \frac{1}{|\cos x|} \right)=\ln|\sec x|\)
所以有公式：
\[
\int \tan xdx=\ln|\sec x|+c \tag{5}
\]
General Logarithmic and exponential Functions
对数函数可以表达成自然对数的样子：
\[
\log_{b}{x}=\frac{\ln x}{\ln b}
\]
因为 \(b\) 是一个常数，我们可以像以下求导：
\[
\frac{d}{dx}(\log_{b}{x})=\frac{d}{dx} \frac{\ln x}{\ln b}=\frac{1}{\ln b} \frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x\ln b}
\]
所以有：
\[
\frac{d}{dx}(\log_{b}{x})=\frac{1}{x\ln b} \tag{6}
\]
EXAMPLE 12
使用（6）和链式法则有：
\[
\frac{d}{dx}\log_{10}(2 + \sin x)=\frac{1}{(2 + \sin x)\ln 10}\frac{d}{dx}\left(2 + \sin x\right)=\frac{\cos x}{(2 + \sin x)\ln 10}
\]
也就是说先套公式，接着再对里面的式子进行求导。
在 6.2 中，我们得知 \(b^x\) 的导数为它自身的常数倍，也就是：
\[
f'(x)=f'(0)b^x\quad\text{where}\quad f'(0)=\lim\limits_{h\to0}\frac{b^h-1}{h}
\]
而这个常数 \(f'(0)=\ln b\)
\[
\frac{d}{dx}(b^x)=b^x\ln b \tag{7}
\]
PROOF
我们可以用 \(e^{\ln b}=b\)
则：
\[
\begin{aligned}
\frac{d}{dx}(b^{x})& =\frac{d}{dx} (e^{\ln b})^{x}=\frac{d}{dx} e^{(\ln b)x}= e^{(\ln b)x} \frac{d}{dx} (\ln b)x \\
&=(e^{\ln b})^{x}(\ln b)=b^{x}\ln b
\end{aligned}
\]
（7）的积分为：
\[
\int b^x dx=\frac{b^x}{\ln b}+C\quad b\neq1
\]
为什么？试着对（7）两边积分：
\[
\begin{align*}
\int\frac{d}{dx}(b^x)dx &= \int b^x(\ln b)dx \\
b^x+c &= \ln b\int b^xdx \\
\frac{b^x}{\ln b}+c &= \int b^xdx
\end{align*}
\]
Logarithmic Differentiation
对于包含复杂的多项式的导数，可以通过取自然对数进行化简
The Power Rule
如果 \(n\) 为任意实数，且 \(f(x)=x^n\)，则：
\[
f'(x)=nx^{n-1}
\]
The Number e as a Limit
自然常数 \(e\) 可以用极限的方式来表示。具体来说，\(e\) 可以表示为当 \(x\) 趋近于0时，\((1 + x)^{1/x}\) 的极限值。
\(f(x)=\ln x\) 的导数为 \(f'(x)=\frac{1}{x}\)，因此 \(f'(1)=1\)，
从导数的极限定义有：
\[
\begin{aligned}
f^{\prime}(1)& =\lim_{h\to0}\frac{f(1 + h) -f(1)}{h}=\lim_{x\to0}\frac{f(1 + x) -f(1)}{x} \\
&=\lim_{x\to0}\frac{\ln(1 + x) - \ln1}{x}=\lim_{x\to0}\frac{1}{x}\ln(1 + x) \\
&=\lim_{x\to0}\ln(1 + x)^{1/x}
\end{aligned}
\]
倒数第二步是因为 \(\ln(a^{b})=b\ln a\)
因为 \(f'(1)=1\)，所以有：
\[
\lim_{x\to0}\ln(1 + x)^{1/x}=1
\]
from 1.8.8
\[
e=e^1=e^{\lim_{x\to0}\ln(1+x)^{1/x}}=\lim_{x\to0}e^{\ln(1+x)^{1/x}}=\lim_{x\to0}(1+x)^{1/x}
\]
由于指数函数的连续性，我们可以交换极限和指数运算（第三步到第四步）。也就是说，求极限的过程中，我们可以先对函数取极限，然后再进行其他运算，或者反过来，先进行其他运算，再取极限，两者的结果是一样的；最后一步是因为 \(e^{\ln b}=b\)
则：
\[
e=\lim_{ x \to 0 } (1+x)^{1/x} \tag{8}
\]
或者令 \(n=\frac{1}{x}\)，当 \(x\to 0^+\) 时，则 \(n\to \infty\)，所以另一个 \(e\) 的表达式为：
\[
e=\lim_{ n \to \infty } \left( 1+ \frac{1}{n}\right)^{n} \tag{9}
\]