07.02 Trigonometric Integrals

第一个解三角函数幂次方的积分在于，运用 \(\sin^2\theta + \cos^2\theta= 1\)

假如式子有其中一个是奇次幂，那么则提取出一个正弦或者余弦因子，剩下用正弦或者余弦表示。具体来说，提出一个因子后，进行换元，哪个函数求导是这个因子呢？下一步，用上面的恒等式替换剩下的式子。记住，恒等式是 2 次幂，对于更高次幂需要提取出来。\(\sin^{4}x\ne 1-\cos^{4}x\)，而是 \((\sin ^{2})^{2}=(1-\cos ^{2}x)^{2}\)

比如对于 \(\int \sin ^{5}x\cos ^{2}xdx\) ，则可以化为 \(\int \sin x\sin^{4}x\cos ^{2}x\)，设 \(u=\cos x,\quad du=-\sin x\)，则有 \(-\int(1-u^2)^{2}u^{2}du\)

如果两个都是偶次幂呢？使用半角公式

\[ \sin^2x=\frac12(1 - \cos2x)\quad\cos^2x=\frac12(1 + \cos2x) \]