07.04 Integration of Rational Functions by Partial Fractions

形如 \(f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}\)，\(P (x),Q (x)\) 为多项式且 \(P (x)\) 的次数＜ \(Q (x)\)，称之为真分式。若 \(P (x)\) 的次数≥ \(Q (x)\)，则称为假分式。

遇到假分式，首先要用 \(\frac{P}{Q}\)（使用长除法），知道获得余数 \(R(x)\)，使得分子次数小于分母：

\[ f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}=S(x) + \frac{R(x)}{Q(x)} \tag{1} \]

长除法：商 x 除数=新的被除数，原被除数-新的被除数=余数，再用余数 ÷ 除数，一直下去，知道不能被除。

任何多项式 \(Q\) 都可以分解为一次因式（形如 \(ax+b\)）和不可约二次因式（形如 \(ax^{2}+bx+c\) ，其中 \(b^{2}-4ac<0\)）的乘积。再将其写成分式的和：

\[\frac{A}{(ax+b)^i}\quad\text{or}\quad\frac{Ax+B}{(ax^2+bx+c)^j}\]

CASE I 分母 \(Q(x)\) 是不同一次因式的乘积

这意味着我们可以写成：

\[ Q(x)=(a_1x+b_1)(a_2x+b_2)\cdots(a_kx+b_k) \]

其中没有因式重复（也没有因式是另一个的常数倍）。在这种情况下，部分分数定理表明存在常数 \(A_{1},A_{2}\dots A_{k}\) ​ 使得：

\[ \frac{R(x)}{Q(x)}=\frac{A_1}{a_1x + b_1}+\frac{A_2}{a_2x + b_2}+\cdots+\frac{A_k}{a_kx + b_k} \tag{2} \]

当化成（2）的形式式，建立方程组，原式=（2），两边消掉分母，使得分子=新的方程组，再把系数求出来，即可得到新的（2）式。另一种方法是，使系数项等于 0。比如说有 3 个系数，那么设一个未知数为一个值，使得其它两项等于 0，可以求出另一个系数。

例如 \(1=A(x+a)+B(x-a)\)，此时可设 \(x=-a\text{ and }x=a\)，得出 \(A=\frac{1}{2a}\text{ and }B=\frac{1}{-2a}\)。

CASE II \(Q(x)\) 是一个线性因子的乘积，里面有一些是重复的

线性因子指的是形如 \(ax+b\) 这样的因子 当分母的线性因子重复时比如说 3 次幂，就可以把它们拆开，化成（2）的形式，比如说 \((1 / x^{3})=A / x +B /x^{2} + C / x^{3}\)

因式定理：假如多项式在 \(x=a\) 处等于 0，则 \((x-a)\) 为多项式的一个因子。例如 \(Q(x)=x^{3}-x^{2}-x+1\)，因为 \(Q(1)=0\)，所以 \((x-1)\) 是它的一个因子，则有 \(Q(x)=(x^{2}-1)(x-1)=(x+1)(x-1)(x-1)=(x+1)(x-1)^{2}\)

CASE II 是 CASE I 的变体，需要将重复的因子从 1 到 n 次幂写出来。

CASE III \(Q(x)\) 含有不可约二次因子，但无重复因子。

如标题所示，当分母的二次项式子用根判别式得到： \(b^{2}-4ac<0\)，这代表提不出来因子了，所以写成 ：

\[ \frac{{Ax+B}}{ax^{2}+bx+c} \quad \text{where }b^{2}-4ac<0 \]

也就是在分子系数加上未知数再加个常数 \(Ax+B\)

之后可以在分母中完成平方，然后做一个替换，使得积分转换为以下形式：

\[ \int \frac{{Cu+D}}{u^{2}+a^{2}}du=\int\frac{C{u}}{u^{2}+a^{2}}du+\int \frac{{D}}{u^{2}+a^{2}}du \]

CASE IIII \(Q(x)\) 包含重复的不可约二次因子

这是以上 CASE 的合体版，如果 \(Q(x)\) 有因子 \((ax^2+bx+c)^r\)， \(b^{2}-4ac<0\)，且重复，则有：

\[ \frac{A_1x+B_1}{ax^2+bx+c}+\frac{A_2x+B_2}{(ax^2+bx+c)^2}+\cdots+\frac{A_rx+B_r}{(ax^2+bx+c)^r} \tag{11} \]

分解后，如果有必要的话，每一项可以使用换元或者完全平方来进行积分。

Rationalizing Substitutions

有些非有理函数可以变换成有理函数。