08.01 Arc Length

求一条直线的长度是轻而易举的，如果求一条曲线呢？可以拿一根绳子度量；但如果是更复杂的曲线呢？

如果曲线是一条多边形，我们可以很容易找到它的长度（如何理解这个多边形？多边形是指一系列的直线连接成的图形, 这里讨论的多边形不一定是封闭的，而是从图像上看两个点连成的线，形成的多个线段的类似多边形的图形，如下图；而长度可以用距离公式求出）。再将这些长度加起来即可得到曲线的长度。

随着分割的多边形越来越小以及越来越多，求出的长度就越精确。

方程 $y=f(x)$ 定义为曲线 $C$ 的长度 $L$ ，所以有：

\[ L=\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{i=1}^n\left|P_{i-1}P_i\right| \tag{1} \]

$\left|P_{i-1}P_i\right|$ 指的是两点间的距离，也就是长度。如果 $f(x)$ 可导，则可以改成：

\[ \begin{vmatrix}P_{i-1}P_i\end{vmatrix}=\sqrt{(x_i-x_{i-1})^2+(y_i-y_{i-1})^2}=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y_i)^2} \]

也就是说两个变量取微小的值，长度会更精确。

在区间 $[x_{i}, x_{i-1}]$ 中，总有一点 $x_{i}^*$ 是它们的平均值，对应的函数也是平均值，使用中值定理有：

\[ \begin{aligned} f(x_{i}) - f(x_{i-1}) &= f'(x_{i}^{*})(x_{i} - x_{i-1}) \\ \Delta y_{i} &= f'(x_{i}^{*}) \Delta x \end{aligned} \]

为什么是 $\Delta x$？因为这样可以设置成这个区间越来越小，从而达到近似的效果。

根据距离公式，再替换，提取公因子 $(\Delta x)^{2}$ 因此有：

\[\begin{aligned} \left|P_{i-1}P_{i}\right|& =\sqrt{(\Delta x)^{2} + (\Delta y_{i})^{2}} = \sqrt{(\Delta x)^{2} + [f^{\prime}(x_{i}^{*}) \Delta x]^{2}} \\ &=\sqrt{1 + [f^{\prime}(x_{i}^{*})]^{2}} \sqrt{(\Delta x)^{2}} = \sqrt{1 + [f^{\prime}(x_{i}^{*})]^{2}} \Delta x \quad\text{since $\Delta x>0$} \end{aligned}\]

根据（1）有：

\[ L=\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{i=1}^n\bigl|P_{i-1}P_i\bigr|=\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{i=1}^n\sqrt{1+\bigl[f'(x_i^*)\bigr]^2} \Delta x \]

同样地，可以写成积分形式，因此有弧长公式：

\[ \int_a^b\sqrt{1 + [f'(x)]^2} dx \tag{2} \]

当曲线的长度为 $y=f(x)\quad a\le x \le b$ ，且 $f'$ 在区间 $[a,b]$ 连续成立。

如果是 $x$ 关于 $y$ 的函数，只需要变换一下：

\[ L=\int_c^d\sqrt{1 + [g'(y)]^2} dy=\int_c^d \sqrt{1 + \left(\frac{dx}{dy}\right)^2} dy \tag{4} \]

The arc Length Function

这个函数的作用在于，在给定 $C$ 的曲线上，你想求出这个曲线的一段的长度该怎么做？令 $s(x)$ 以 $a$ 为起始点，$x$ 为终点，$s(x)$ 始终在曲线上，这就是弧长函数。根据（2）有：

\[ s(x)=\int_a^x\sqrt{1 + [f'(t)]^2} dt \tag{5} \]

将积分变量换成 $t$ 以至不被混淆。

微积分第一基本定理是指：任何一个连续函数 $f (x)$ 都可以在区间上找到它的原函数 $F(x)$（求不定积分：使其导数等于给定的函数），也就是 $F'(x)=f(x)$。例如 $f(x)=x^{2},\quad F(x)=\frac{1}{3}x^{3}+c$ 。

所以，根据上述，对 $s(x)$ 求导有：

\[ \frac{ds}{dx}=\sqrt{1 +\left[f'(x)\right]^2} = \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \tag{6} \]

中间变成了 $x$ 是变回之前的操作, 之前（5）的 $t$ 为了混淆，但实际还是 $x$ 的这个变量。从（6）式可以看出，$ds /dx$ 总是大于 1，且当 $f'(x)=0$ 时等于 1。通过移项可以得到弦长的微分形式：

\[ ds = \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} dx \tag{7} \]

有时候可以写得更对称一些：

\[ (ds)^2=(dx)^2 + (dy)^2 \tag{8} \]

(7) 和 (8) 的图像解释为：

通过 (8) 和 $L=\int ds$ 可以记住所有弧长公式。