08.02 Area of a Surface of Revolution

求旋转体表面的面积是求弦长和求旋转体的结合体。想象一下你正在求由一根直线旋转成圆柱体的表面积，那么你只需要把它剪开再展开，如下图：

就可以得到圆柱体的表面积 \(A\) 为：

\[ A = 2\pi rh \tag{1} \]

如果是一个圆锥呢？剪开将其展平以形成半径 \(r\)，圆心角为：\(\theta=2\pi r/l\) （弦的长度与圆心角大小成正比）

而扇形面积为 \(\frac{1}{2}l^{2}\theta\)，所以圆柱体的表面积为：

\[ A=\frac{1}{2}l^2\theta=\frac{1}{2}l^2\biggl(\frac{2\pi r}{l}\biggr)=\pi rl \tag{2} \]

如果是一条曲线旋转形成的物品呢？也就是说这个叫不上名的复杂旋转体（下图蓝色区域为旋转体）。

我们可以根据之前用多边形来求弦长的方法进行推广，把这根曲线分割成很小很小一块，使其形成的图形是一个规则图形，求出它的表面积，再相加起来即可得到复杂旋转体的表面积。或者，如图 3 所示，使其作为一个规则图形，用圆锥体减去虚线形成的面积即可求出所要求的面积。所以有：

\[ \begin{align} &A = \pi r_2(l_1 + l) - \pi r_1l_1 = \pi[(r_2 - r_1)l_1 + r_2l ] \\ &\frac{l_1}{r_1} = \frac{l_1 + l}{r_2} \quad\text{相似三角形，对应边成比例}\\ &r_2l_1 = r_1l_1 + r_1l \quad \text{or} \quad (r_2 - r_1)l_1 = r_1l \\ &A=\pi(r_{1}l+r_{2}l)\\ \\ A=2\pi rl \tag{3} \end{align} \]

此处 \(r=\frac{1}{2}(r_{1}+r_{2})\) 为分割小块图形的平均半径（为了近似，因为不规则图形的半径不一）

如图 4 所示，现在对 \(f(x)\) 这根曲线旋转得到的图形求它的表面积。

首先，我们在区间 \([a,b]\) 分割成 \(n\) 个宽度为 \([x_{i}^*,x_{i-1}^*]\) 的小区间，\(x_{i}^*\) 为小区间的一点，对应的函数值为 \(f(x_{i}^*)\)。第二，由 b 可以看出，对于区间 \(x_{i}^*\)，小区间能形成一块区域。由（3）可以有表面积 \(A=2\pi rl\)，\(r\) 对应的是 \(\frac{1}{2}(f(x_{i-1})+f(x_{i}))\)，高 \(l\) 则为 \(\left|P_{i-1}P_{i}\right|\)，因此式子变成了：

\[ 2\pi\frac{y_{i-1} + y_i}{2}\left| P_{i-1}P_i\right| \]

如 8.1.2 得到的：

\[ \begin{vmatrix}P_{i-1}P_i\end{vmatrix}=\sqrt{1 + \begin{bmatrix}f'(x_i^*)\end{bmatrix}^2} \Delta x \]

如前所述，\(x_{i}^*\) 为小区间的一点，当 \(\Delta x\) 很小时，意味着小区间非常窄，此时任何点都可以很好地近似，因此我们有 \(y_{i}=f(x_{i})\approx f(x_{i}^{*})\) 和 \(y_{i-1}=f(x_{i-1})\approx f(x_{i}*)\)，所以替换消掉 2 有：

\[ 2\pi \frac{y_{i-1} + y_i}{2}\big| P_{i-1}P_i\big| \approx 2\pi f(x_i^*) \sqrt{1 + \big[ f'(x_i^*)\big]^2} \Delta x \]

给它求个和，也就是将这 \(n\) 个区间分得越来，越小就能得到近似的面积：

\[ \sum\limits_{i=1}^n2\pi f(x_i^*)\sqrt{1+[f'(x_i^*)]^2} \Delta x \]

变成积分的形式有：

\[ \lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{i=1}^n2\pi f(x_i^*) \sqrt{1 +\left[f'(x_i^*)\right]^2} \Delta x=\int\limits_a^b2\pi f(x) \sqrt{1 +\left[f'(x)\right]^2} dx \]

所以，可以借助：周长 x 高 x 弦长的定积分来记忆

\[ S=\int_a^b2\pi f(x)\sqrt{1 + [f'(x)]^2} dx \tag{4} \]

\(x\) 关于 \(y\) 的表达式：

\[ S=\int_c^d2\pi y\sqrt{1 + \left(\frac{dx}{dy}\right)^2} dy \tag{5} \]

为什么一个表达式对不一样的轴旋转，相应的被积变量不用改变？ 因为计算弦长的距离本身就是对应的被积变量，比如 \(y=\tan x\)，它的弦长始终是以 \(ds=\sqrt{ 1+\sec^{4} x }dx\) 确定的。又因为面积为：\(\int2\pi rds\)， 所以，对于不同的轴旋转，需要改变的是 \(r\)。这里的 \(r\) 指的是半径，指的是弦长到轴的距离。比如原式绕 \(y\) 轴旋转，则有 \(\int 2\pi \tan x\sqrt{ 1+\sec^{4} x }dx\)；而绕 \(x\) 轴则是 \(\int 2\pi x\sqrt{ 1+\sec^{4} x }dx\)