09.2 Direction Fields and Euler’s Method

很难求解微分方程，但可以通过图形方法（方向场）或数值方法（欧拉法）来了解很多关于解的知识。

Direction Fields

1. 理解微分方程：微分方程告诉我们函数 y 在某一点的斜率（即瞬时变化率）。在这个例子中，y' 表示 y 对 x 的导数，也就是 y 随着 x 改变的速度。y' = x + y 意味着在任何点 (x, y)，y 的斜率都是 x 加上 y 自身。 2. 初始条件：我们还有一个初始条件 y(0) = 1，表示在 x=0 时，y 的值是 1。这就是我们的起点。 3. 绘制方向场：为了画出解决方案的图像，我们先画出一系列短直线段，每个都具有由微分方程给出的斜率。这些线段组成了所谓的“方向场”，如图2所示，如图2所示。它们指示了 y 函数在各个点处的倾斜程度。

意思就是说，y' 是由 x+y 组成的，x+y 的值决定了在 （x, y）点处的斜率，每个点的斜率随着值变化而变化。 4. 解读方向场：方向场帮助我们理解整个曲线的大致形状。例如，图3显示了 y' = x + y 方向场。你可以看到，随着 x 增加，斜率也增加，因此曲线会向上弯曲。 5. 结合初始条件：最后，我们使用方向场和初始条件来画出特定的解曲线。图4显示了通过 (0, 1) 的解曲线。它遵循方向场的方向，并且在 x=0 时经过 (0, 1)。 方向场只是指导，不是精确的解。但它提供了足够的信息来近似解的形状。就像导航地图上的路线指引，虽然没有告诉你确切的路径，但可以让你大致知道前进的方向。

一般来说，假设我们有一个形如 y' = F(x, y) 的一阶微分方程，其中 F(x, y) 是关于 x 和 y 的表达式。这个微分方程告诉我们曲线上点(x, y) 的切线斜率等于 F(x, y)。如果我们画出多个点(x, y) 上具有斜率 F(x, y) 的短线段，那么这些线段构成的结果称为方向场（或坡度场）。这些线段指示了解曲线的走向，因此方向场有助于我们可视化这些曲线的整体形状。

换句话说，方向场就像是解曲线的指南针，它告诉我们曲线在不同点的走势。通过观察方向场，我们可以大致了解解曲线是如何变化的，即使我们不知道具体解的精确公式。这对于理解和分析复杂的问题非常有帮助。

Euler’s Method

Euler's Method是一种数值方法，用于求解微分方程的近似解。它基于方向场的思想，通过逐步调整来逼近真实解。 有微分方程：

【图11】展示了初始的Euler近似。我们知道 y'(0) = 1，所以解曲线在 (0, 1) 处的斜率是 1。我们可以用直线 L(x) = x + 1 来近似解曲线。

【图12】Euler方法的基本思想是在 (0, 1) 处沿直线走一段距离（步长），然后根据方向场改变方向。当 x = 0.5 时，新线段的斜率是 2，所以我们用 y = 2x + 0.5 近似解曲线。

【图13】减小步长到 0.25 后，Euler近似变得更接近实际解。这种方法不断调整方向，得到更精确的近似解。

一般来说，欧拉方法说从初始值给出的点开始，然后按照方向场指示的方向前进。片刻后停下来，查看新位置的斜率，然后朝那个方向前进。根据方向场不断停止和改变方向。Euler 方法不会给出初始值问题的精确解，而是给出近似值。但是通过减小步长（从而增加中途修正的数量），我们连续获得更好的精确解的近似值。（比较图 11，12，13）

对于一般的初值问题：

我们的目标是在等距数字 x 0 处找到解的近似值，x_1 = x_0 + h, x_2 = x_1 + h, ...，h 为步长。微分方程告诉我们，在点 (x_0, y_0) 的斜率为 F(x_0, y_0)，所以在 x = x_1 时的近似解为 y_1 = y_0 + h * F(x_0, y_0)。因此，图 14 显示 x = x 1 时解的近似值为