10.01 Curves Defined by Parametric Equations

当我们在平面上绘制一条曲线，用简单的 \(y=f(x)\) 可能很难表示。所以我们需要引入一种新的函数，称之为参数方程。它是有参数 \(t\)（或者什么其它字母），和多个函数组成的：

\[ x=f(t)\quad y=g(t) \]

代入 \(t\) 即可得到相应的 \((x,y)\) 坐标。如图，代入：

\[ x=t^2-2t\quad y=t+1 \]

画出来的是参数曲线，这看起来像条抛物线。事实上，我们可以重写方程有：

\[ x=t^2-2t=(y-1)^2-2(y-1)=y^2-4y+3 \]

若参数设定一个取值范围，比如 \(a\le t \le b\)，则称 \((f(a),g(a))\) 为初始点，\((f(b),g(b))\) 为终点。

The Cycloid

摆线，是由圆周（圆的边）上的一个点 \(P\) 沿着一条直线滚动所描绘出的曲线。

EXAMPLE 7 如果圆的半径为 \(r\)，并且沿 \(x\) 轴滚动，其中一点 \(P\) 位于原点，则求出圆环线的参数方程。

粒子运动的轨迹为什么是曲线的？因为当它在运动时会受到外界的影响。

竖直向上指和水平面垂直，指向朝上。 垂直向上指和研究平面垂直向上（比如斜面：垂直向上就是垂直斜面向上）