10.02 Calculus with Parametric Curves
Tangents
假设这两个函数连续且可导
\[
x=f(t)\quad y=g(t)
\]
我们要找到这个参数曲线在一个点上的切线，其中 \(y\) 也是 \(x\) 的可导函数（因为可以间接地把 \(y\) 写出关于 \(x\) 的表达式），根据链式法则有：
\[
\begin{aligned}\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}\end{aligned}
\]
若 \(dx/dt\ne 0\)，则有：
\[
\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}\quad\text{if}\quad\frac{dx}{dt}\neq0 \tag{1}
\]
对于粒子的运动，\(dy/dt\) 为垂直速度，\(dx/dt\) 为水平速度，代入 （1）则是这两个速度的比率。
（1）可以想象成求斜率时需要上下同时除以 \(dt\)。当 \(dy/dt=0\) 时，曲线有一条水平切线（就像一般函数的导数一样）；当 \(dx/dt=0\) 时，曲线有一条垂直切线。
而二阶导有：
\[
\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)=\frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{\frac{dx}{dt}}
\]
也就是线求一阶导 \(dy /dx\) 关于 \(t\) 的导数，再除以 \(dx / dt\)。
EXAMPLE 1
一条曲线 \(C\) 由参数方程 \(x=t^{2},\quad y=t^{3}-3t\).
(a) 找出曲线在 \((3,0)\) 点的两条切线
解：
对于 \(x=3\)，\(t=\pm \sqrt{ 3 }\)，又因为：
\[
\begin{aligned}\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}=\frac{3t^2-3}{2t}=\frac{3}{2}\left(t-\frac{1}{t}\right)\end{aligned}
\]
代入 \(t\) 有：\(dy/dx=\pm6/(2\sqrt{ 3 })=\pm \sqrt{ 3 }\)，所以在点 \((3,0)\) 的切线为：
\[
y=\sqrt{3} (x - 3)\quad\text{and}\quad y=-\sqrt{3} (x - 3)
\]
(b) 找出 C 在哪一点的切线是水平或者垂直
解：
对于水平切线，则令 \(dy /dt=0\)。根据原式有 \(dy /dt=3t^{2}-3=0\)，则 \(t=\pm 1\)。代入参数方程有 \((1,-2)\) 和 \((1,2)\)
对于垂直切线，则令 \(dx /dt=0\)。根据原式有 \(dx /dt=2t=0\)，则 \(t=0\)。代入参数方程有 \((0,0)\)
(c) 判断曲线在哪处凹面向上或向下（也就是二阶导时的正/负）
\[
\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{\frac{dx}{dt}}=\frac{\frac{3}{2}\left(1 + \frac{1}{t^2}\right)}{2t}=\frac{3(t^2 + 1)}{4t^3}
\]
Areas
如果曲线是由方程 \(x=f(t),\quad y=g(t),\quad a\le t\le\beta\) 绘制出来的，则可以使用换元法来计算定积分：
\[
A=\int_{a}^{b}y dx=\int_{\alpha}^{\beta}g(t)f'(t) dt\quad\begin{bmatrix}\mathrm{or}&\int_{\beta}^{\alpha}g(t)f'(t) dt\end{bmatrix}
\]
Arc Length
先前学的弦长公式：
\[
L=\int_a^b\sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} dx \tag{2}
\]
指的是曲线 \(C\) 的长度 \(L\)。若 \(C\) 也能被参数方程 \(x=f(t),\quad y=g(t),\quad a\le t\le\beta,\quad\text{where }dx/dt=f'(t)>0\) 描绘出来。这意味着 \(C\) 只被遍历一次，从左到右，当 \(t\) 从 \(\alpha\) 增加到 \(\beta\) 时，且 \(f(\alpha)=a,\quad f(\beta)=b\) ，则代入上式并使用换元法有：
\[
L=\int_a^b\sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} dx=\int_\alpha^\beta \sqrt{1 + \left(\frac{dy/dt}{dx/dt}\right)^2} \frac{dx}{dt} dt
\]
\(dx\) 替换成 \(\frac{dx}{dt}dt\) 。又因为 \(dx /dt>0\)，则有：
\[
L=\int_\alpha^\beta\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2} dt \tag{3}
\]
Surface Area
如先前对弦长所做的一样，参数方程的表面积公式为：
\[
S=\int_\alpha^\beta2\pi y\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2} dt \tag{6}
\]
\[
ds = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} dt
\]