10.03 Polar Coordinates

平常用的直角坐标系是笛卡尔坐标系，今儿来学学牛顿引入的极坐标系

极点（原点），从原点画一条射线，称之为极轴（对应着 $x$ 轴）。如果P是平面上的另一个点，设r为从O到P的正距离，θ为从极轴到OP连线的角度（通常以弧度为单位），称为极角。则点P由有序对(r, θ)表示，称为P的极坐标。逆时针转为正角，反之为负。

如果 $r$ 是一个负数会是什么样？它们是同一个点，但转动的方向是相反的。

由因为旋转是以 $2\pi$ 为一个周期，所以点 $(r,\theta)$ 也可以表示为：

$$(r,\theta + 2n\pi)\quad\mathrm{and}\quad(-r,\theta + (2n + 1)\pi)$$

$n$ 为任意整数。

从三角函数有：

$$\cos \theta=\frac xr\quad\sin \theta=\frac yr$$

则对应到极坐标系上有：

$$x=r\cos\theta\quad y=r\sin\theta \tag{1}$$

以及

$$r^2=x^2+y^2\quad\tan\theta=\frac{y}{x} \tag{2}$$

Polar Curves

极坐标系方程的图形 $r=f(\theta)$ 或者 $F(r,\theta)=0$，是由所有至少有一种极坐标表示 $(r,\theta)$ 其坐标满足方程的所有点 $P$ 组成。

用极坐标系描述的曲线方程称作极坐标方程，通常表示为 $r$ 为自变量 $\theta$ 的函数。

假如说极坐标方程 $r=2$，那么对于所有在坐标系的 $\theta$ 的图像有：

Tangents to Polar Curves

为了找到极轴曲线 $r=f(\theta)$ 的正切/斜率，我们将 $\theta$ 看作一个参数，并写出参数方程：

$$x=r\cos\theta=f(\theta)\cos\theta\quad y=r\sin\theta=f(\theta)\sin\theta$$

使用求参数曲线的斜率的方法和乘积法则：

$$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{d\theta}}{\frac{dx}{d\theta}}=\frac{\frac{dr}{d\theta}\sin\theta + r\cos\theta}{\frac{dr}{d\theta}\cos\theta - r\sin\theta} \tag{3}$$

如果 $r=0$，则有

$$\frac{dy}{dx}=\tan\theta\quad\text{if } \frac{dr}{d\theta}\neq0$$