05 Alternating Series

交替级数是其项交替为正和负的序列，形如：

通项公式为： bn is a positive number. (In fact, bn = | an |.)

- 1. 每一项单调递减 - 2. 每一项趋于零

偶数部分和 s2​, s4, s6​... 递增（指的是相对前一个偶数部分和递增，下同），奇数部分和 s1​, s3​, s5​... 递减。由于每一项都在变小，我们可以合理推测这两组部分和都会趋近于同一个数，也就是交错级数的和。

偶数部分和是递增的，是因为每次添加一个正项后，下一个部分和就会增加。例如，从 s1 到 s2​ 减去了一个负项 b2，所以 s2s2​；从 s4​ 到 s6​ 又减去了一个负项 b4，所以 s6>s4​；以此类推。因此，偶数部分和总是先减去一个负项，然后再加回一个正项，所以它们是递增的。

Estimating Sums

对于这样的级数，部分和 sn​ 可以用来近似总和 s，并且误差的绝对值小于等于第一项被忽略的项 bn+1​，即 ∣Rn∣=∣s−sn∣≤bn+1​。换句话说，如果我们要用部分和 sn​ 来近似总和 s，那么误差的绝对值不会大于 bn+1

交错级数的总和 s 实际上是无限个项的和，而部分和 sn​ 只包含了前 n 项。因此，bn+1 是尚未加入到部分和 sn​ 中的下一项。

Note 使用部分和 sn​ 来近似总和 s 的误差小于或等于第一项被忽略的项 bn+1​ 的规则只适用于满足交错级数估计定理条件的交错级数。对于其他类型的级数，这个规则可能不适用。这意味着如果你尝试使用相同的方法来估计非交错级数的和，可能会得到错误的结果或者无法保证误差的大小。因此，在应用这个规则之前，必须确保级数符合交错级数的条件。