08 Power Series

形如： 的级数称为幂级数。 x 为变量，cn 为常数，称为级数的系数。

级数的总和是一个函数： 对于 x 的所在的定义域，级数收敛。f 类似于多项式，区别在于 f 有无穷多项

如果取 cn=1，幂级数变成了等比数列

取 x=1/2

所以，更一般的形式为： 称之为关于 a 的幂级数。这个展开式表示了一个函数在点 a 处的局部行为，即在 x=a 周围的邻域内，函数可以用这些系数和 x−a 的幂次的和来近似表示。

至于 aa，它是一个固定的参考点，通常称为展开点或者中心点。这个点的选择会影响级数的收敛性和有效范围。当 x 接近 a 时，幂级数的收敛性更好，而且通常能够精确地表示整个函数。在 a 处，幂级数会完全匹配函数，因为所有阶的导数都在那里相等。

例 1 因为 x=0 时，所有项都为 0

Bessel function：理解振动的物体表面是如何响应声音或其他力 0 阶贝塞尔函数

虽然我们不能直接写出贝塞尔函数的闭合形式，但我们可以通过求和部分和来近似它。这就是无穷级数的强大之处，即使我们不知道函数的确切解析表达式，也能通过部分和来了解它的性质和行为。

收敛半径定理 幂级数的收敛区间可能是有限的（如几何级数）、无限的（如指数函数）或者只有一个点（如常数函数）。

这里的 R 就是我们所说的收敛半径。如果情况 (1) 发生，那么收敛半径为 0；如果情况 (2) 发生，那么收敛半径为无穷大。

现在，我们关注第三种情况，即存在一个收敛半径 R。这意味着级数在区间 (a−R,a+R) 内收敛，在端点处可能发生不同的情况。也就是说，x=a±R 这两个点上，级数可能收敛也可能发散。因此，我们有四种可能的收敛区间：

一些例子：

想象你在玩一个游戏，你需要扔飞镖到一个靶子上。靶子中心有一个洞，离洞越远，得分越少。每个飞镖对应着幂级数中的一个项，而你的目标是尽可能多地得分。为了获得最高分数，你需要保证你的飞镖都在一定的范围内，这个范围就是收敛半径。 假设靶子的中心是 \(a\)，你的飞镖必须落在距离 \(a\) 不超过 \(R\) 的地方才能得分。如果飞镖超过了 \(R\)，那么你就得不到分，这个游戏就会结束。这个 \(R\) 就是收敛半径。 当你扔飞镖时，你会发现有一些策略可以让大部分飞镖都落在 \(R\) 范围内，从而得到高分。这就是幂级数的收敛半径，它告诉你幂级数在哪种情况下是有效的，或者说在哪种情况下它可以正确地描述你要表达的东西。 如果 \(R\) 是无穷大，那就意味着你可以随意扔飞镖，无论多远都可以得分，这说明幂级数适用于所有的情况。如果 \(R\) 是有限的，那你就得小心控制飞镖的距离，确保它们都在 \(R\) 范围内。 在实际应用中，收敛半径很重要，因为它告诉我们幂级数是否可靠。如果幂级数的收敛半径很小，那么我们就不能随便使用它，因为一旦超出这个范围，结果就不准确了。如果收敛半径很大，那么我们可以在更大的范围内使用幂级数，这很有用。 所以，收敛半径就像是一个边界，告诉我们在哪里使用幂级数是安全的。