10 Taylor and Maclaurin Series

哪些函数具有幂级数表示？我们如何找到这样的表示？ 假设 f 是可以用幂级数表示的任何函数

方程 1：

为了确定系数 c_n，如果设 x=a，则第一项后全为 0：

由定理 11.9.2 ，可以方程 1对每一项求导，则方程 2 为：

将 x=a 替换到方程 2 有： 这意味着 c1​ 就等于函数在 a 处的导数值。

x 在 a 处的导数意思指的是：在定义域中，取 a 这个点，计算函数在这个点上的斜率。如果你想知道函数在 x=a 时的弯曲程度，你就要计算二阶导数，也就是 f′′(a)。 这里的 x−a 是指相对于中心点 a 的差值。在泰勒级数中，我们通常会选择一个点作为中心点，然后围绕这个点展开函数。 这个点通常是函数的一个特殊点，如极值点或拐点。所以，x−a 实际上是相对于中心点 a 的偏移量，它决定了泰勒级数展开的位置。如果你需要在 a 左右两边展开函数，x−a 就是关键的变量。

现在对方程 2 进行求导，有方程 3：

再次将 x=a 代入方程 3： 这次我们找到了 c2​，它是函数在 a 处的二阶导数值除以 2。

又对方程 3 求导：

又代入：

所以，不断求导，一直代入，有：

求解该方程的第 n 个系数 cn，我们有：

即使 n=0 也成立，因为0! = 1，

通过这种方法，我们可以构造出一个泰勒级数来近似表示给定的函数。

如果一个函数 f(x) 在点 a 处有幂级数展开（也就是泰勒级数），那么它的系数 cn​ 可以通过下面的公式计算出来。换句话说，如果我们知道一个函数在某个点 a 处的所有导数值，我们就可以用这个公式来找到对应的幂级数展开式的系数。这个定理非常重要，因为它提供了一种方法来构建泰勒级数，进而用无限多项式来近似表示函数：

将 cn 这个公式代入回到级数中，我们看到如果 f 在 a 处有一个幂级数展开，那么它必须具有以下形式：

等式 6 中的级数称为函数 f 在 a 处（或围绕 a 或以 a 为中心）的泰勒级数。对于特殊情况 a = 0，泰勒级数变为麦克劳林级数：

Note： 如果一个函数 f 可以用泰勒级数来表示，那么这个函数等于它的泰勒级数的和。但并不是所有的函数都能用它们的泰勒级数完全表示。比如在 a 处可能不可导，或者它们的高阶导数不存在。在这种情况下，泰勒级数只能给出函数的一个局部近似，而不是完整的表示。

Example 1 Find the Maclaurin series of the function and its radius of convergence.

那么我们如何确定 ex 是否确实具有幂级数表示呢？ 让我们探究一个更普遍的问题：在什么情况下一个函数等于其泰勒级数的和？换句话说，如果一个函数的所有阶导数存在，那么在什么情况下等式成立： 与任何收敛级数一样，这意味着 f (x) 是部分和序列的极限。在 Taylor 级数的情况下，部分和是：

请注意，Tn​ 是一个次数为 n 的多项式，称为 f 在 a 处的 n 次泰勒多项式。例如，对于指数函数 f(x)=ex，在 x=0 处的泰勒多项式（也称作麦克劳林多项式）T1​、T2​ 和 T3​ 分别是：

一般来说，如果 f(x) 是其泰勒级数的和，那么： 如果我们让： 那么 Rn(x) 称为泰勒级数的余项。如果我们能证明 ，那么就有：

因此，我们得到了以下定理

在试图证明特定函数 f 通常使用以下定理

f′′ 的不定积分是 f′，根据微分基本定理第二部分，我们得到： 或者 因此， 类似的论证表明，使用 ，我们有： 所以：

尽管我们假设了 x>a，类似的计算表明这个不等式对于 x<a 也是成立的。

这证明了 n=1 时的泰勒不等式。任何 n 的结果可以通过 n 次积分来证明。（参见练习 83 中的 n=2 的情况）

注意，在第 11.11 节中，我们将探索泰勒不等式在近似函数中的应用。我们现在直接使用它的目的是结合定理 8。

在应用定理 8 和 9 时，通常会用到下面的事实：

这是因为从例题 1 中我们知道级数 对所有 x 都收敛，所以其第 n 项趋近于 0。