11.01 Sequences
序列：排成一列的数字。比如数列
定义 1：一个序列 \(a_n\) 有极限 \(L\)，写为：
\[
\lim_{n\to\infty}a_n=L\quad\mathrm{or}\quad a_n\to L \mathrm\quad{as} \quad n\to\infty
\]
如果我们可以通过取足够大的 \(n\) 使项 \(a_n\) 与 \(L\) 尽可能接近，那么如果 \(\lim_{n\to\infty}a_n\) 存在，则序列收敛，否则发散。
定义 2，更精确，一个序列 \(a_n\) 有极限 L 我们写作：
\[
\lim_{n\to\infty} a_n=L\quad\mathrm{or}\quad a_n\to L \quad\mathrm{as} \quad n\to\infty
\]
如果对于每一个 \(\varepsilon>0\) 都存在一个整数 N，有：
\[
\text{if}\quad n>N\quad\text{then}\quad\left|a_n-L\right|<\varepsilon
\]
无论选择的这个 \((L-\varepsilon,L+\varepsilon)\) 区间多么小，总有一个 \(N\)，使得从 \(a_n+1\) 开始的序列的所有项都必须位于该区间内。
\(a_n\) 始终躺在两条绿色水平线的中间
定理 3：当 \(N\) 是一个整数时，\(\lim_{x\to\infty}f(x)=L\mathrm{~and~}f(n)=a_n\)，则 \(\lim_{n\to\infty}a_n=L\)
from 3.4.4
定理 4：如果 \(r>0\) 是一个有理数，则
\[
\lim_{x\to\infty}\frac1{x^r}=0
\]
如果 \(r>0\) 是一个有理数使得对于所有 \(x\)，\(x^r\) 都有定义，则
\[
\lim_{x\to-\infty}\frac1{x^r}=0
\]
第 4 回到序列
\[
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^r}=0\quad\text{if} r>0
\]
定义 5：\(\lim_{n\to\infty}a_{n}=\infty\) 一位置对于每一个正数 M，都存在一个整数 N 使得
\[
\text{if}\quad n>N\quad\text{then}\quad a_n>M
\]
序列的极限定律
\[\lim_{n\to\infty}\:(a_n\:+\:b_n)=\lim_{n\to\infty}\:a_n\:+\:\lim_{n\to\infty}\:b_n
\]
\[
\lim_{n\to\infty}\:(a_n-b_n)=\lim_{n\to\infty}\:a_n-\lim_{n\to\infty}\:b_n
\]
\[
\lim\limits_{n\to\infty}ca_n=c\lim\limits_{n\to\infty}a_n\quad\lim\limits_{n\to\infty}c=c
\]
\[
\lim_{n\to\infty}\left(a_{n}b_{n}\right)=\lim_{n\to\infty}a_{n}\cdot\lim_{n\to\infty}b_{n}
\]
\[
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{\lim_{n\to\infty}a_n}{\lim_{n\to\infty}b_n}\quad\text{if}\lim_{n\to\infty}b_n\neq0
\]
\[
\lim\limits_{n\to\infty}a_n^p=\begin{bmatrix}\lim\limits_{n\to\infty}a_n\end{bmatrix}^p\quad\text{if } p>0\text{ and } a_n>0
\]
三明治定理： \(\mathrm{If~}a_n\leqslant b_n\leqslant c_n\mathrm{~for~}n\geqslant n_0\mathrm{~and}\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}c_n=L,\mathrm{then}\lim_{n\to\infty}b_n=L\)
定理 6
\[
\text{If}\lim\limits_{n\to\infty}\big|a_n\big|=0,\text{then}\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0
\]
定理 6 的题型
定理 7：
如果将连续函数应用于收敛序列的项，则结果也是收敛的。
如果一个序列收敛到 \(L\)，且 \(f\) 是在 \(L\) 处连续的函数，那么应用 \(f\) 得到的新序列也收敛，并且它的极限等于 \(f(L)\)。
\[
\lim_{n\to\infty}f(a_n)=f(L)
\]
可以先计算序列的极限，然后再应用函数，而不是直接求解复杂的函数应用之后的序列极限。
令 \(b=r\)，\(n=x\)
\[
\lim\limits_{n\to\infty}r^n=\begin{cases}\infty&\text{if } r>1\\0&\text{if } 0<r<1\end{cases}
\]
观察到：
$$
\lim\limits_{n\to\infty}1^n=1\quad\text{and}\quad\lim\limits_{n\to\infty}0^n=0
$$
如果 \(-1< r < 0\)，那么 \(0 < |r| < 1\)，所以：
\[
\lim\limits_{n\to\infty}\left|r^n\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\left|r\right|^n=0
\]
总结以上：当 \(-1 < r ≤ 1\) 时序列 \(r^n\) 收敛，而对于 r 的其它值发散。
\[
\lim\limits_{n\to\infty}r^n=\begin{cases}0&\text{if} -1<r<1\\1&\text{if } r=1\end{cases}
\]
定义 10：单调性
定义 11：上确界和下确界
第 12：单调序列定理每个有界的单调序列都是收敛的