11.02 Series

形如：

\[ a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n+\cdots \]

称之为级数，就是把数列的每一项相加起来的和，用符号表示：

\[ \sum_{n=1}^\infty a_n\quad\mathrm{or}\quad\sum a_n \]

例 1：随着 n 增大，累积和变得越来越大，无法找到有限的和。

\[ 1+2+3+\cdots+n+\cdots \]

例 2：随着添加更多项，部分和越来越接近 1。部分和指的是只计算前若干项的总和。例如，前两项的和为 \(1/2 + 1/4 = 3/4\)，前三项的和为 \(1/2 + 1/4 + 1/8 = 7/8\)，依此类推。可以看到，随着项数增加，部分和逐渐逼近 1。

\[ \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}+\cdots+\frac{1}{2^n}+\cdots \]

\[ \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots+\frac{1}{2^n}+\cdots=1 \]

部分和 \(s_n\)：取前 \(N\) 项进行相加

\[ \begin{aligned} &{S_1} =a_{1} \\ &{S_2} =a_1+a_2 \\ &{S_3} =a_1+a_2+a_3 \\ &{S_4} =a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4} \end{aligned} \]

\[ s_n=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n=\sum_{i=1}^na_i \]

当

\[ \lim_{n\to\infty}s_n=s \]

\(S\) 可能不存在，如果存在则称其为无穷级数的和。

定义

给定一个级数 \(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}=a_{1} + a_{2} + a_{3} + \cdots\)，令 \(S_n\) 表示为级数的第 \(n\) 项的部分和：

\[ s_n=\sum_{i=1}^na_i=a_1+a_2+\cdots+a_n \]

如果序列 \(s_n\) 收敛，并且 \(\lim_{n\to\infty}s_n=s\)，极限存在且 \(s\) 为一个实数，则级数 \(\sum a_n\) 收敛，写作：

\[ a_1+a_2+\cdots+a_n+\cdots=s\quad\mathrm{or}\quad\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n=s \]

\(s\) 称为级数的和。如果序列 \(s_n\) 发散，则级数发散。

因此, 级数的和是部分和序列的极限。

\[ \sum_{n=1}^\infty a_n=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^na_i \]

这意味着通过添加足够多的项，可以尽可能接近数字 \(S\)。也就是说，取一部分 \(N\) 项，再把这个 \(N\) 往后推，推到无穷进行相加，如果收敛且有一个值，则称为级数的和。

例 3：等比/几何级数

将等比数列加起来就是等比级数

\[ a+ar+ar^2+ar^3+\cdots+ar^{n-1}+\cdots=\sum_{n=1}^\infty ar^{n-1}\quad a\neq0 \]

从第一项开始，后一项除以前一项的结果是一个公比 r。

如果 \(r=1\)，则级数和趋于无穷（\(r\) 去掉了，剩下的项是 1 加到无穷）

如果 \(r≠1\)，有：

\[ s_n=a+ar+ar^2+\cdots+ar^{n-1} \]

两边乘以 \(r\)：

\[ rs_n=\quad ar+ar^2+\cdots+ar^{n-1}+ar^n \]

上式-下式：

\[ s_n-rs_n=a-ar^n \]

则有：

\[ s_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r} \]

如果 \(-1 < r < 1\)，当 \(n\to\infty\) 时，\(r^n\to 0\)（11.1.9 指数函数图像）

\[ \lim\limits_{n\to\infty}s_n=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a(1-r^n)}{1-r}=\frac{a}{1-r}-\frac{a}{1-r}\lim\limits_{n\to\infty}r^n=\frac{a}{1-r} \]

使用绝对值符号 |r| 是为了涵盖所有可能的情况（可能是为了更好看吧./）

几何级数

\[ \sum_{n=1}^\infty ar^{n-1}=a+ar+ar^2+\cdots \]

如果\(|r|<1\)，则级数和为：

\[ \sum_{n=1}^\infty ar^{n-1}=\frac a{1-r}\quad|r|<1 \]

如果 \(|r|≥1\)，则级数发散。

收敛几何级数的和是：首项 / 1 - 公比

定理 6

如果一个级数收敛，那么它的各项随着 \(n\) 的增大会趋近于 0。

\[ \lim_{n\to\infty}a_n=0 \]

PROOF

令 \(s_n=a_1+a_2+\cdots+a_n\)，则 \(a_n=s_n-s_{n-1}\)。因为 \(\sum a_{n}\) 收敛，所以序列 \(s_{n}\) 也收敛。令 \(\lim_{n\to\infty}s_n=s\)。当 \(n\to\infty\) 时，\(n - 1\to\infty\)，并且 \(\lim_{n\to\infty}s_{n-1}=s\)，所以有：

\[ \lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}(s_n-s_{n-1})=\lim\limits_{n\to\infty}s_n-\lim\limits_{n\to\infty}s_{n-1}=s-s=0 \]

Note 1：

对于任何级数 \(\sum a_{n}\)，我们都可以关联两个序列：部分和序列 \(s_{n}\) 和各项序列 \(a_{n}\)。如果级数 \(\sum a_{n}\) 收敛，那么部分和序列 \(s_{n}\) 的极限是级数的和 \(s\)，而各项序列 \(a_{n}\) 的极限是 0（随着 \(n\) 的增大，\(a_{n}\) 趋于 0）。

Note 2：

但调和级数是一个例外，所以这个定理并不通用。

Note 3：

如果

\[ \lim_{n\to\infty}a_n\neq0 \]

则级数 \(\sum a_{n}\) 发散

但

\[ \lim_{n\to\infty}a_n=0 \]

并不能证明级数 \(\sum a_{n}\) 收敛，它可能收敛也可能发散（Note 2）。

定理 8

如果 \(\sum a_{n}\) 和 \(\sum b_{n}\) 收敛，则 \(\sum ca_{n}\) （c 为常数），\(\sum (a_{n}+b_{n})\)，\(\sum (a_{n}-b_{n})\) 也收敛，且有：

\[ \begin{aligned}&(\mathrm{i})\sum_{n=1}^{\infty}ca_{n}=c\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\\&(\mathrm{ii})\sum_{n=1}^{\infty} (a_{n} + b_{n})=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} + \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}\\&(\mathrm{iii})\sum_{n=1}^{\infty} (a_{n} - b_{n})=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} - \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}\end{aligned} \]

Note 4：

有限数量的项不会影响级数的整体收敛性或发散性。这意味着，如果我们能够证明一个级数是收敛的，那么加上或去掉有限数量的项并不会改变级数的收敛性。级数的收敛性取决于无穷多项的行为，而非有限数量的项。

例如：

\[ \sum_{n=4}^\infty\frac n{n^3+1} \]

收敛，则加上前几项：

\[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n^3+1}=\frac{1}{2}+\frac{2}{9}+\frac{3}{28}+\sum_{n=4}^{\infty}\frac{n}{n^3+1} \]

也收敛。