11.08 Power Series
形如： $$ \sum_{n=0}^{\infty}C_{n}x^{n}=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+ \cdots \tag{1} $$
的级数称为幂级数。
\(x\) 为变量，\(c_{n}\) 为常数，称为级数的系数。
级数的总和是一个函数： $$ f(x)=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots+c_{n}x^{n}+\cdots $$
对于 \(x\) 的所在的定义域，级数收敛（\(x\) 能取到的所有值，级数收敛）。\(f\) 类似于多项式，区别在于 \(f\) 有无穷多项
如果取 \(c_{n}=1\)，幂级数变成了等比数列
当 \(-1<x<1\) 收敛，当 \(|x|\ge_{1}\) 发散。
比如在（2）中，取 \(x=1/2\)，则有： $$ \sum_{n=0}^{\infty}\left( \frac{1}{2} \right)^{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots $$
级数收敛。
所以，更一般的形式为： $$ \sum_{n=0}^{\infty}c_{n}(x-a)^n=c_{0}+c_{1}(x-a)+c_{2}(x-a)^{2}+\cdots \tag{3} $$
称之为关于 \(a\) 的幂级数。这个展开式表示了一个函数在点 \(a\) 处的局部行为，即在 \(x=a\) 周围的邻域内，函数可以用这些系数和 \(x−a\) 的幂次的和来近似表示。
至于 \(a\)，它是一个固定的参考点，通常称为展开点或者中心点。这个点的选择会影响级数的收敛性和有效范围。当 \(x\) 接近 \(a\) 时，幂级数的收敛性更好，而且通常能够精确地表示整个函数。在 \(a\) 处，幂级数会完全匹配函数，因为所有阶的导数都在那里相等。当 \(x=a\) 时，除了第一项，后面全没了，自然收敛。
这里的 \(x=0\) 是说 \(x\) 在 \(0\) 处的行为，也就是取 \(a=0\)
举个例子，\(e^{x}\) 在 \(x=0\) 出的泰勒展开式为：
这里的 \(a=0\)，所以 \(x-a=x\)，幂级数变成了 \(x\) 的幂次的和。
Theorem
对于给定一个幂级数 \(\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}(x-a)^n\) ，只有三种可能： （i）只有当 \(x=a\)，级数收敛 （ii）对所有 \(x\) 都收敛 （iii）存在一个正数 \(R\) 使得，如果 \(|x-a|<R\) 级数收敛，如果 \(|x-a|>R\) 发散。
如果把 \((x-a)\) 看成一项，则幂级数可以化简为 \(\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}x^{n}\) 的形式，称之为幂函数的标准形式。一个标准形式的幂级数完全由它的系数来决定。
将一个函数写成幂级数 \(\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}(x-a)^{n}\) 的形式称为将函数在 \(a\) 处展开成幂级数。不是每个函数都可以展开成幂级数。
EXAMPLE 1
SOLUTION
因为 \(x=0\) 时，所有项都为 \(0\)
Bessel function：理解振动的物体表面是如何响应声音或其他力
0 阶贝塞尔函数
虽然我们不能直接写出贝塞尔函数的闭合形式，但我们可以通过求和部分和来近似它。这就是无穷级数的强大之处，即使我们不知道函数的确切解析表达式，也能通过部分和来了解它的性质和行为。
收敛半径定理
幂级数的收敛区间可能是有限的（如几何级数）、无限的（如指数函数）或者只有一个点（如常数函数）。
这里的 \(R\) 就是我们所说的收敛半径。如果情况 (1) 发生，那么收敛半径为 0；如果情况 (2) 发生，那么收敛半径为无穷大。
现在，我们关注第三种情况，即存在一个收敛半径 \(R\)。这意味着级数在区间 \((a-R,a+R)\) 内收敛，在端点处可能发生不同的情况。也就是说，\(x=a\pm R\) 这两个点上，级数可能收敛也可能发散。因此，我们有四种可能的收敛区间：
一些例子：
想象你在玩一个游戏，你需要扔飞镖到一个靶子上。靶子中心有一个洞，离洞越远，得分越少。每个飞镖对应着幂级数中的一个项，而你的目标是尽可能多地得分。为了获得最高分数，你需要保证你的飞镖都在一定的范围内，这个范围就是收敛半径。 假设靶子的中心是 \(a\)，你的飞镖必须落在距离 \(a\) 不超过 \(R\) 的地方才能得分。如果飞镖超过了 \(R\)，那么你就得不到分，这个游戏就会结束。这个 \(R\) 就是收敛半径。 当你扔飞镖时，你会发现有一些策略可以让大部分飞镖都落在 \(R\) 范围内，从而得到高分。这就是幂级数的收敛半径，它告诉你幂级数在哪种情况下是有效的，或者说在哪种情况下它可以正确地描述你要表达的东西。 如果 \(R\) 是无穷大，那就意味着你可以随意扔飞镖，无论多远都可以得分，这说明幂级数适用于所有的情况。如果 \(R\) 是有限的，那你就得小心控制飞镖的距离，确保它们都在 \(R\) 范围内。 在实际应用中，收敛半径很重要，因为它告诉我们幂级数是否可靠。如果幂级数的收敛半径很小，那么我们就不能随便使用它，因为一旦超出这个范围，结果就不准确了。如果收敛半径很大，那么我们可以在更大的范围内使用幂级数，这很有用。 所以，收敛半径就像是一个边界，告诉我们在哪里使用幂级数是安全的。