幂级数表示的函数形式

当 \(\left| x \right|<1\) 有等比数列求和公式有：\(S=\frac{1}{1-r}\)，方程 1 中，\(a=1,r=x\) ，所以可以把（1）看作级数的和

\[\frac{1}{1-x}=1 + x + x^2 + x^3 + \cdots=\sum\limits_{n=0}^{\infty}x^n\quad \left| x \right|<1 \tag{1}\]

部分和的序列极限是级数的和

Differentiation and Integration of Power Series

Theorem

如果幂级数 \(\sum c_{n}(x-a)^{n}\) 有收敛半径 \(R>0\)，则函数 \(f\) 由

\[ f(x)=c_0+c_1(x-a)+c_2(x-a)^2+\cdots=\sum_{n=0}^\infty c_n(x-a)^n \]

定义。

这是一个在区间 \((a-R, a+R)\) 上可微（因此连续）的函数，并且有： \(\(\text{(i)}f'(x)=c_1 + 2c_2(x - a) + 3c_3(x - a)^2 + \cdots = \sum_{n=1}^{\infty} nc_n(x - a)^{n-1}\)\)

\[\begin{aligned} \text{(ii)}\int f(x) dx& =C + c_0(x - a) + c_1 \frac{(x - a)^2}{2} + c_2 \frac{(x - a)^3}{3} + \cdots \\ &=C + \sum_{n=0}^{\infty}c_n \frac{(x - a)^{n+1}}{n + 1} \end{aligned}\]

幂级数的收敛半径在方程 \(\text{(i)}\) 和 \(\text{(ii)}\) 均为 \(R\)。

Note 1

\(\text{(i)}\) 和 \(\text{(ii)}\) 可改写成： \(\(\text{(iii)} \frac{d}{dx}\biggl[\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}(x - a)^{n}\biggr]=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{d}{dx}\bigl[c_{n}(x - a)^{n}\bigr]\)\)

\[\text{(iv)} \int\left[\sum\limits_{n=0}^{\infty}c_n(x-a)^n\right]dx=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\int\limits_{n=0}^{\infty}c_n(x-a)^ndx\]