11.10 Taylor and Maclaurin Series

泰勒级数有点像幂级数，但它不是随便写的，而是根据函数在某一点的行为来构造的。想象一下，你有一张纸，上面画着一条曲线，这条曲线代表了一个函数。你想知道在某个点 \(x=a\) 处，函数看起来是什么样的。泰勒级数就是一种方法，让你用一系列的直线段来近似那个点周围的曲线。这些直线段的斜率和截距是由函数在 \(x=a\) 处的导数决定的。导数告诉我们在 \(x=a\) 处，函数的变化速度有多快。当你把这些直线段连在一起，就得到了一个近似的曲线，那就是泰勒级数。

接下来，我们来看看 \(e^x\) 函数在 \(x=0\) 处的泰勒级数。\(e^x\) 是一个特殊的函数，它在 \(x=0\) 处的值是 1。我们想知道 \(e^x\) 在 \(x=0\) 附近的样子，于是我们开始画一些直线段来近似它。这些直线段的斜率和截距来自 \(e^x\) 在 \(x=0\) 处的导数。第一项是 1，因为 \(e^0=1\)。第二项是 \(x\)，因为 \(e^x\) 在 \(x=0\) 处的导数是 1。第三项是 \(x^2/2!\)，因为 \(e^x\) 在 \(x=0\) 处的二阶导数也是 1。第四项是\(x^3/3!\)，以此类推。

这样做的好处是可以用这些直线段来近似 \(e^x\) 在 \(x=0\) 附近的行为。如果你想知道 \(e^x\) 在 \(x=0.1\) 或者 \(x=−0.2\) 处的值，你可以把那些直线段加起来，得到一个近似值。这个过程叫做“展开”或“展开成泰勒级数”。

最后，关于收敛半径。收敛半径就像是一个安全距离。如果你离 \(x=0\) 太远，那些直线段可能会变得不好用，不能准确地近似 \(e^x\)。收敛半径告诉你多远的距离内，这些直线段还是有效的。在这个例子中，\(e^x\) 的泰勒级数的收敛半径是无限大，这意味着不管 \(x\) 离 \(0\) 多远，那些直线段都能近似 \(e^x\)。这是很特别的，因为大多数函数的泰勒级数只能在一定范围内有效。

哪些函数具有幂级数（近似求函数值）表示？我们如何找到这样的表示？

假设 \(f\) 是可以用幂级数表示的任何函数，则有：

\[ f(x)=c_0+c_1(x-a)+c_2(x-a)^2+c_3(x-a)^3+c_4(x-a)^4+\cdots\quad\left|x-a\right|<R \tag{1} \]

为了确定系数 \(c_n\)，如果设 \(x=a\)，则第一项后全为 \(0\)：

\[ f(a)=c_0 \]

由定理 11.9.2 ，可以对（1）每一项求导，则有：

\[ f'(x)=c_1 + 2c_2(x - a) + 3c_3(x - a)^2 + 4c_4(x - a)^3 + \cdots\quad \left| x - a \right|<R \tag{2} \]

将 \(x=a\) 替换到（2）有：

\[ f^{\prime}(a)=c_1 \]

这意味着 \(c_1\) 就等于函数在 \(a\) 处的导数值。

\(x\) 在 \(a\) 处的导数意思指的是：在定义域中，取 a 这个点，计算函数在这个点上的斜率。如果你想知道函数在 \(x=a\) 时的弯曲程度，你就要计算二阶导数，也就是 \(f^{\prime\prime}(a)\)。这里的 \(x−a\) 是指相对于中心点 \(a\) 的差值。在泰勒级数中，我们通常会选择一个点作为中心点，然后围绕这个点展开函数。这个点通常是函数的一个特殊点，如极值点或拐点。所以，\(x−a\) 实际上是相对于中心点 \(a\) 的偏移量，它决定了泰勒级数展开的位置。如果你需要在 \(a\) 左右两边展开函数，\(x−a\) 就是关键的变量。

现在对 (2) 进行求导，有：

\[ f''(x)=2c_2+2\cdot3c_3(x-a)+3\cdot4c_4(x-a)^2+\cdots\quad\left|x-a\right|<R \tag{3} \]

再次将 \(x=a\) 代入 (3)：

\[ f''(a)=2c_2 \]

这次我们找到了 \(c_2\)，它是函数在 \(a\) 处的二阶导数值除以 \(2\)。

又对方程 (3) 求导：

\[ f'''(x)=2\cdot3c_3+2\cdot3\cdot4c_4(x-a)+3\cdot4\cdot5c_5(x-a)^2+\cdots\quad\left|x-a\right|<R \tag{4} \]

又代入：

\[ f'''(a)=2\cdot3c_3=3!c_3 \]

所以，不断求导，一直代入，有：

\[ f^{(n)}(a)=2\cdot3\cdot4\cdot\cdots\cdot nc_n=n!c_n \]

求解该方程的第 \(n\) 个系数 \(c_n\)，我们有：

\[ c_n=\frac{f^{(n)}(a)}{n!} \]

即使 \(n=0\) 也成立，因为 \(0! = 1\)

\[ f^{(0)}=f \]

通过这种方法，我们可以构造出一个泰勒级数来近似表示给定的函数。

换句话说，如果我们知道一个函数在某个点 \(a\) 处的所有导数值，我们就可以用这个公式来找到对应的幂级数展开式的系数。这个定理非常重要，因为它提供了一种方法来构建泰勒级数，进而用无限多项式来近似表示函数：

如果一个函数 \(f(x)\) 在点 \(a\) 处有幂级数展开（也就是泰勒级数）：

\[ f(x)=\sum_{n=0}^\infty c_n(x-a)^n\quad\left|x-a\right|<R \tag{5} \]

那么它的系数 \(c_n\) 可以通过下面的公式计算出来：

\[ c_n=\frac{f^{(n)}(a)}{n!} \]

将 \(c_n\) 这个公式代入回到级数中，我们看到如果 \(f\) 在 \(a\) 处有一个幂级数展开，那么它必须具有以下形式：

\[ \begin{aligned} f(x)& =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n} \\ &=f(a) + \frac{f^{\prime}(a)}{1!} (x - a) + \frac{f^{\prime\prime}(a)}{2!} (x - a)^{2} + \frac{f^{\prime\prime\prime}(a)}{3!} (x - a)^{3} + \cdots \end{aligned} \tag{6} \]

（6）中的级数称为函数 \(f\) 在 \(a\) 处（或围绕 \(a\) 或以 \(a\) 为中心）的泰勒级数。

麦克劳林级数：\(a = 0\) 的泰勒级数

\[ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^{n}=f(0) + \frac{f'(0)}{1!} x + \frac{f''(0)}{2!} x^{2} + \cdots \tag{7} \]

Note：如果一个函数 \(f\) 可以用泰勒级数来表示，那么这个函数等于它的泰勒级数的和。但并不是所有的函数都能用它们的泰勒级数完全表示。比如在 \(a\) 处可能不可导，或者它们的高阶导数不存在。在这种情况下，泰勒级数只能给出函数的一个局部近似，而不是完整的表示。

Example 1 求函数 \(f(x)=e^x\) 的麦克劳林级数和它的收敛半径

解：如果 \(f(x)=e^x\)，则 \(f^{(n)}(x)=e^{x}\)，所以对于所有 \(n\) 都有 \(f^{(n)}(0)=e^0=1\) 。因此 \(f\) 在 \(0\) 处的麦克劳林级数为：

\[ \sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}=1 + \frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdot\cdot\cdot \]

令 \(a_n=x^n/n!\)，收敛半径为：

\[ \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}\cdot\frac{n!}{x^n}\right|=\frac{|x|}{n+1}\to0<1 \]

所以，根据比值审敛法，级数对于所有的 \(x\) 收敛，收敛半径是 \(R=\infty\).

我们可以从定理 5 和例 1 推出，如果 \(e^x\) 在 0 处有幂级数表示（展开），则：

\[ e^x=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!} \]

那么我们如何确定 \(e^x\) 是否确实具有幂级数表示呢？

让我们探究一个更普遍的问题：在什么情况下一个函数等于其泰勒级数的和？换句话说，如果一个函数的所有阶导数存在，那么在什么情况下等式成立：

\[ f(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n \]

与任何收敛级数一样，这意味着 \(f (x)\) 是部分和序列的极限。在 Taylor 级数的情况下，部分和 \(T_n\)是：

\[ \begin{aligned} T_n(x)& =\sum_{i=0}^n\frac{f^{(i)}(a)}{i!}(x-a)^i \\ &=f(a) + \frac{f^{\prime}(a)}{1!} (x - a) + \frac{f^{\prime\prime}(a)}{2!} (x - a)^{2} + \cdot \cdot + \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x - a)^{n} \end{aligned} \]

请注意，\(T_n\) 是一个次数为 \(n\) 的多项式，称为 \(f\) 在 \(a\) 处的 \(n\) 次泰勒多项式。例如，对于指数函数 \(f(x)= e^x\)，在 \(x=0\) 处的泰勒多项式（也称作麦克劳林多项式）\(T_1\) 、\(T_2\) 和 \(T_3\) 分别是：

\[ \begin{gathered} T_1(x)=1+x \\ T_2(x)=1+x+\frac{x^2}{2!} \\ T_3(x)=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!} \end{gathered} \]

一般来说，如果 \(f(x)\) 是其泰勒级数的和，那么：

\[ f(x)=\lim_{n\to\infty}T_n(x) \]

如果我们让：

\[ R_n(x)=f(x)-T_n(x) \]

所以有级数的和 = 部分和 + 余项：

\[ f(x)=T_n(x)+R_n(x) \]

那么 \(R_n (x)\) 称为泰勒级数的余项。如果我们能证明余项取 \(n\to\infty\) 时等于 0：

\[ \lim_{n\to\infty}R_n(x)=0 \]

那么就有部分和取 \(n\to\infty\)，等于级数和：

\[ \lim_{n\to\infty}T_n(x)=\lim_{n\to\infty}[f(x)-R_n(x)]=f(x)-\lim_{n\to\infty}R_n(x)=f(x) \]

因此，我们得到了以下定理如果 \(f(x)=T_n(x)+R_n(x)\)，\(T_n (x)\) 是 \(f\) 在 \(a\) 处的 \(n\) 阶泰勒多项式，并且：

\[ \lim_{n\to\infty}R_n(x)=0 \]

当 \(|x-a|<R\) 时，\(f\) 等于其泰勒级数之和在区间 \(|x-a|<R\) 上。

当 \(x\) 和 \(a\) 之间的差的绝对值小于 \(R\) （收敛半径）时，函数 \(f\) 可以通过其泰勒级数的和来近似。泰勒级数是一组由 \(f\) 在 \(a\) 处的导数构成的多项式，它可以在 \(x\) 值与 \(a\) 相差不超过 \(R\) 的范围内近似 \(f\) 的行为。

尝试证明对于特定函数 \(f\) ，当 \(\lim_{n\to\infty}R_n (x)=0\) ，通常使用以下定理

泰勒不等式：若 \(|f^{(n+1)}(x)|\leq M\) 对于 \(|x-a|\leq d\) 成立，则泰勒级数的余项 \(R_n (x)\) 满足不等式

\[ \begin{vmatrix}R_n(x)\end{vmatrix}\leqslant\frac{M}{(n + 1)!}\begin{vmatrix}x - a\end{vmatrix}^{n+1}\quad\text{for} \begin{vmatrix}x-a\end{vmatrix}\leqslant d \tag{9} \]