平面及其方程

在数学中，平面是可以无限延展的。

平面方程：平面上任意一点 (x, y, z) 都满足的一条关系式

法向量是垂直于该平面的向量，因为可以平移所以一个平面上有无数个法向量。 法线 - 维基百科，自由的百科全书

平面的点法式方程：

平面的一般方程： \(\({\displaystyle ax+by+cz+d=0}\)\)

当平面方程中的D=0时，说明该平面一定经过坐标原点。 1. 当D=0时，方程表示所有满足Ax+By+Cz=0的点(x, y, z)都在平面上；原点(0, 0, 0) 满足该方程 2. D实际上代表平面到原点的距离

三个不共线的点所确定的平面是唯一的

想象一下，你拿三根不平行的铅笔，将它们任意放置。你会发现，无论你如何摆放，这三根铅笔都会围成一个平面。这个平面就是由这三根铅笔所确定的。 形象地说，三个不共线的点就像是一个三角形的三个顶点，而这个三角形就决定了一个平面。

为什么必须是不共线的？

• 共线的情况： 如果三个点共线，那么它们都在同一条直线上。而无数个平面都可以过同一条直线，所以无法确定一个唯一的平面。
• 不共线的必要性： 只有当三个点不共线时，它们才能确定一个唯一的平面。

三点式

\[ \begin{vmatrix} x-x_{1} & y-y_{1} & z-z_{1} \\ x_{2}-x_{1} & y_{2}-y_{1} & z_{2}-z_{1} \\ x_{3}-x_{1} & y_{3}-y_{1} & z_{3}-z_{1} \end{vmatrix} = 0 \]

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点到平面的距离

\[ {\displaystyle D={\frac {\left|ax_{1}+by_{1}+cz_{1}+d\right|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}} \]