12 .5 Equations of Lines and Vectors
Lines
二维平面可以点斜式来确定一条直线 L，三维平面由一个点 P_0 和它的方向决定 用向量 \(\vec{v}\) 表示直线 L 的方向，让 \(\vec{v} \parallel L\)，P 为 L 上的任意一点，令 \(\vec{r_0}\) 和 \(\vec{r}\) 作为 p 0 和 p 的位置向量（因此有 op 和 op 0）。
如果 a 是 p 0 p，如图 1，由三角形法则有 \(\mathbf{r}=\mathbf{r}_0 + \vec{a}\),，又因为 \(\vec{v} \vec{a}\)，且存在一个标量 t 使得 \(\vec{a}=t\vec{v}\)，因此有：
称为向量方程
t 的正负值改变 \(\vec{r}\) 的方向
如果直线 L 方向的向量 \(\vec{v}\) 以分量形式表示 \(\vec{v}=\langle a,b,c \rangle\)，则 \(t\vec{v}=\langle ta,tb,tc \rangle\)，还可以写为 \(\vec{r}=\langle x,y,z \rangle\)，\(\vec{r}_0=\langle x_0, y_0, z_0\rangle\)，则（1）变为：
则： \(\(x=x_0+at\quad y=y_0+bt\quad z=z_0+ct\)\) 称为参数方程
Example 1，当选择不同的点或平行向量时，上述两个方程也会随之改变。
上面的 \(\vec{v}=\langle a,b,c \rangle\)，a, b, c 称为 L 的方向数，当 a,b,c 都不为零时，我们可以解出 t，得到等式： \(\(t=\frac{x-x_0}{a}\quad t=\frac{y-y_0}{b}\quad t=\frac{z-z_0}{c}\)\)
将这些等式相等，我们得到所谓的对称方程： \(\(\frac{x-x_0}a=\frac{y-y_0}b=\frac{z-z_0}c\)\)
如果其中一个方向数为零，比如 a=0，那么可以消去 t(在参数方程时消掉)，得到： \(\(x=x_0\quad\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}\)\) 这意味着直线 L 在垂直于 x 轴的平面上，即 x 坐标固定为 x 0。
用向量描述从 \(\mathbf{r}_0\) 到 \(\mathbf{r}_1\) 线段 \(\(\mathbf{r}(t)=(1-t)\mathbf{r}_0+t\mathbf{r}_1\quad0\leqslant t\leqslant1\)\)
Planes
空间上的平面由一个点 P 和与平面垂直的向量决定，这个向量称为法向量。法向量 N 与给定平面中的每个向量正交。
称为平面向量方程
平面的标量方程
Example 4：找到某条直线在某个轴上的截距，意味着要找出这条直线与那个轴相交的点。为此，需要让其他轴的变量等于零，然后求解剩下的变量。这样做的原因是，直线在某个轴上的截距就是它与那个轴相交的点的坐标。
linear equation
Example 5：假如给出三个点怎么求平面方程？首先叉积的结果，也就是两个向量相乘得出的向量，是与平面上的向量垂直的。因此可将叉积的结果作为法向量，再取一点（这一点可以是平面上的任意一点），从而得出平面方程。
法向量的选择
- 平面的法向量并不是唯一的，因为任何与已知法向量共线的向量都可以作为法向量。
- 例如，如果 n=(A,B,C) 是一个法向量，那么 kn（其中 k是任意非零实数）也是法向量。
标准形式
- 平面方程的标准形式是 ax+by+cz+d=0，其中 (a,b,c) 是归一化的法向量，d 是常数。
- 归一化是指法向量的模长为 1。
- 这种形式的平面方程是唯一的，因为归一化的法向量只有一个。
总结
- 平面方程不唯一，但标准形式是唯一的。
- 三个点确定一个平面，但法向量可以选择。
- 不同的法向量可能导致不同的方程，但它们描述的是同一个平面。
Example 6：参数方程描述了一条直线，平面方程定义了一个平面。直线上的每个点可以通过参数 t 决定，要找到交点，也就是说直线上的某个点必定在平面上，即
因此可通过联立方程求解 t，也就是将前者代入后式。
如果两个平面的法向量平行，则这两个平面是平行的。如果两个平面不平行，则它们沿直线相交，并且两个平面之间的角度定义为其法向量之间的锐角。
Example 7：
1. 如何求两平面的夹角？用点积的定义。
2. 如何求两个平面的交点线 L 的对称方程?？
设 Z 轴为 0，在 x-y 平面上有一个交点。联立方程求解 x 和 y。
一般来说，当以对称形式写出一条线的方程，可以将这条线看作是两个平面的交点线
Distance
p 1 到平面的距离等于 b 在法向量 n 上的标量投影的绝对值
