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Vectors

向量：既有大小又有方向的量（位移、力、速度），由一个箭头或有向线段表示。比如一拳伸出去的路径。

长度为向量的大小，而端点为方向。用粗体 \(\textbf{V}\) 或 \(\vec{v}\) 表示一个向量。

向量相加

例： \(\vec{v} + \vec{u}\) 三角形法则：将 \(\vec{v}\) 移动指向 \(\vec{u}\) 的尾巴，再相连。

平行四边形法则：前者的变化，适用于两者的端点在同一个位置。

而减法是加法的逆运算：\(\vec{v} - \vec{u} = \vec{v} + (\vec{-u})\)

标量 \(c\)：一个实数，表示为大小，没有方向 \(c \vec{v}\)

标量相乘的几何意义是：放大/缩小该向量；若 \(c < 0\) ，则改变向量方向。

分量

分量指的是将一个向量的尾巴放在坐标系的原点，终点的坐标则是这个向量的分量，注意括号是用来区分有序数对和向量的分量：

位置向量

用一个带箭头的线段表示，箭头指向物体，线段的长度表示物体到原点的距离，线段的方向表示物体相对于原点的方向。如图 13，\(\textbf{a}\) 是点 \(P\) 的位置向量。

位移向量

可以通过终点减去起点得到。为什么是终点减起点？假设有一个小球，初始位置为A点，经过一段时间后移动到了B点。OA向量表示小球在A点的位置，OB向量表示小球在B点的位置。那么 \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}\) 。其实就是三角形法则，为什么是 \(\overrightarrow{AB}\) 呢？因为它表示的是以 A 为起点 B 为终点。

\(\text{Given the points }A (x_1, y_1, z_1)\mathrm{~and~}B (x_2, y_2, z_2),\text{ the vector a with representation }\mathrm{~and~}\overrightarrow{AB}\text{ is}\)

\[ \mathbf{a}=\langle x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1\rangle \]

The length of the two-dimensional vector \(\mathbf{a}=\langle a_1,a_2\rangle\) is

\[ |\mathbf{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2} \]

The length of the three-dimensional vector \(\mathbf{a}=\langle a_1,a_2,a_3\rangle\) is

\[ \begin{vmatrix}\mathbf{a}\end{vmatrix}=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2} \]

代数上，如何添加向量？每个分量加上每个分量。

\[ \mathrm{If~}\mathbf{a}=\langle a_1,a_2\rangle\mathrm{~and~}\mathbf{b}=\langle b_1,b_2\rangle,\mathrm{then} \]
\[ \mathbf{a}+\mathbf{b}=\langle a_1+b_1,a_2+b_2\rangle\quad\mathbf{a}-\mathbf{b}=\langle a_1-b_1,a_2-b_2\rangle \]
\[ c\mathbf{a}=\langle ca_1,ca_2\rangle \]

Properties of Vectors: If \(\mathbf{a}\), \(\mathbf{b}\), and \(\mathbf{c}\) are vectors in \(V_n\) and \(c\) and \(d\) are scalars, then

  1. \(\mathbf{a} + \mathbf{b} = \mathbf{b} + \mathbf{a}\) \(\Leftrightarrow\) 平行四边形法则

  2. \(\mathbf{a} + (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = (\mathbf{a} + \mathbf{b}) + \mathbf{c}\) \(\Leftrightarrow\) 三角形法则

  3. \(\mathbf{a} + \mathbf{0} = \mathbf{a}\)

  4. \(\mathbf{a} + (-\mathbf{a}) = \mathbf{0}\)

  5. \(c(\mathbf{a} + \mathbf{b}) = c\mathbf{a} + c\mathbf{b}\)

  6. \((c+d)\mathbf{a} = c\mathbf{a} + d\mathbf{a}\)

  7. \((cd)\mathbf{a} = c(d\mathbf{a})\)

  8. \(1 \cdot \mathbf{a} = \mathbf{a}\)

Standard basis vectors

length 1 and point in the directions of the positive x-, y-, and z-axes.

\[ \mathbf{i}=\langle 1,0,0\rangle\quad\mathbf{j}=\langle 0,1,0\rangle\quad\mathbf{k}=\langle 0,0,1\rangle \]

一个向量 \(\mathbf{a}=\langle a_1, a_2, a_3\rangle\) 可用分量表示为：

\[ \begin{aligned} &\mathbf{a} = \langle a_1, a_2, a_3 \rangle = \langle a_1,0,0 \rangle + \langle 0, a_2,0 \rangle + \langle 0,0, a_3 \rangle \\ &= a_1 \langle 1,0,0 \rangle + a_2 \langle 0,1,0 \rangle + a_3 \langle 0,0,1 \rangle \\ &\mathbf{a} = a_1 \mathbf{i} + a_2 \mathbf{j} + a_3 \mathbf{k} \end{aligned} \]

比如 \(\langle1,-2,6\rangle=\mathbf{i}-2\mathbf{j}+6\mathbf{k}\)，二维同理。

基向量可称为单位向量，因为长度为 1，如同单位圆。单位向量主要关心的是方向而非大小。

In general, if \(\mathbf{a}\) \(\neq\mathbf{0}\), then the unit vector that has the same direction as \(\mathbf{a}\) is

\[ \mathbf{u}=\frac{1}{\mid\mathbf{a}\mid}\mathbf{a}=\frac{\mathbf{a}}{\mid\mathbf{a}\mid} \]

为什么是 \(\frac{1}{\mid\mathbf{a}\mid}\)，因为底下是模，上面的公式就是把向量 \(\mathbf{a}\) 变到一个长度为 1 的向量。