13.1 Vector Functions and Space Curves

实函数（Real function），指定义域和值域均为实数集的子集的函数。实函数的特性之一是可以在坐标平面上画出图形

我们现在研究值为向量的函数，因为需要这样的函数来描述空间中的曲线和表面。我们还将使用向量值函数来描述物体在空间中的运动。

通常，函数是将值域中的元素分配给定义中的每个元素的规则。一个向量函数，是定义域为一组实数和值域为一组向量。我们最感兴趣的是向量函数 r，其值是三维向量。

向量函数 r 是由三个实值函数组成的，称之为分量函数。

\[ \mathbf{r}(t)=\langle f(t),g(t),h(t)\rangle=f(t) \mathbf{i} + g(t) \mathbf{j} + h(t) \mathbf{k} \]

定义域是由分量函数决定的，满足每一个函数条件。

Limit and Continuity

极限是由分量函数的极限决定的。

向量函数的极限遵循与实值函数的极限相同的规则。

如果 \((t)=\langle f(t),g(t),h(t)\rangle\)，有：

\[ \lim\limits_{t\to a}\mathbf{r}(t)=\left\langle\lim\limits_{t\to a}f(t),\lim\limits_{t\to a}g(t),\lim\limits_{t\to a}h(t)\right\rangle \]

前提是分量函数的极限存在。

向量函数 \(\mathbf{r}\) 在 \(a\) 处连续，当且仅当分量函数都在 \(a\) 处连续。

\[ \lim_{t\to a}\mathbf{r}(t)=\mathbf{r}(a) \]

Space Curves

假设\(f (t), g (t), h (t)\) 在区间 \(I\) 上连续，这些函数定义了空间中所有的点 \(P（x, y, z）\)的集合 \(C\)

\[ x=f(t)\quad y=g(t)\quad z=h(t) \]

随着 \(t\) 在区间中变化，称之为空间曲面 \(C\)。

上述方程为 \(C\) 的参数方程，\(t\) 为参数。

其在时间 \(t\) 处的位置是 \(P(f(t),g(t),h(t))\)。如果我们考虑向量函数 \(\mathbf{r}(t)=\langle f (t), g (t), h (t)\rangle\)，那么 \(\mathbf{r}\) 就是点 \(P(f(t), g(t), h(t))\) 在 \(C\) 上的位置向量。因此，任何连续的向量函数 \(\mathbf{r}\) 都定义了一个空间曲线 \(C\)，它是通过移动向量 \(\mathbf{r}\) 的尖端描绘出来的，如图 1 所示。

位置向量是指从原点出发指向某个点的向量，它可以表示这个点相对于原点的空间位置。