13.2 Derivatives and Integrals of Vector Functions
在中文里，“differentiate”这个词通常指的是求导数的过程，也就是找出函数的导数。 微分的英文是 differential。
Derivatives
和实值函数的定义大致相同
\[
\frac{d\mathbf{r}}{dt}=\mathbf{r}'(t)=\lim_{h\to0}\frac{\mathbf{r}(t+h)-\mathbf{r}(t)}h
\]
如果极限存在，那么 \(\frac{d\mathbf{r}}{dt}=\mathbf{r}' (t)\) 就是曲线 \(C\) 在点 \(P\) 处的切向量，只要 \({r}' (t)\) 存在且不为零。切向量是沿着曲线 \(C\) 的切线方向的单位向量。图中显示了当 \(h\) 趋近于零时，向量 \(\frac{\mathbf{r}(t+h)-\mathbf{r}(t)}h\) 趋近于切向量。
\[
\mathbf{T}(t)=\frac{\mathbf{r}'(t)}{|\mathbf{r}'(t)|}
\]
向量函数求导：只需分别对每个分量进行求导即可 如果 \(\mathbf{r}(t)=\langle f(t),g(t),h(t)\rangle=f(t)\mathbf{i}+g(t)\mathbf{j}+h(t)\mathbf{k}\), \(f, g, h\) 为可导函数，则：
\[
\mathbf{r}^{\prime}(t)=\langle f^{\prime}(t),g^{\prime}(t),h^{\prime}(t)\rangle=f^{\prime}(t)\mathbf{i}+g^{\prime}(t)\mathbf{j}+h^{\prime}(t)\mathbf{k}
\]
Differentiation Rules
Integrals
和实值函数的定义大致相同
\[
\int_a^b\mathbf{r}(t) dt=\left(\int_a^bf(t) dt\right)\mathbf{i}+\left(\int_a^bg(t) dt\right)\mathbf{j}+\left(\int_a^bh(t) dt\right)\mathbf{k}
\]
微积分定理推广到向量函数
\[
\int_a^b\mathbf{r}(t) dt=\mathbf{R}(t)\Big]_a^b=\mathbf{R}(b) - \mathbf{R}(a)
\]