13.3 Arc Length and Curvature

曲线的弧长可以被认为是一个人沿着曲线路径行进的距离

Length of a Curve

无论是平面曲线还是空间曲线，都是通过将多边形的长度累加来定义的。

对于具有参数方程 $x=f(t), y=g(t)$ 的平面曲线，在 $a\leq t\leq b$ 区间内，其长度公式为

\[ L=\int_a^b\sqrt{[f'(t)]^2+[g'(t)]^2} dt=\int_a^b\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2} dt \]

空间曲线

\[ \begin{align*} \text{L} &= \int_{a}^{b}\sqrt{[f^{\prime}(t)]^{2}+[g^{\prime}(t)]^{2}+[h^{\prime}(t)]^{2}} dt \\ &= \int_{a}^{b} \sqrt{\left (\frac{dx}{dt}\right)^{2}+\left (\frac{dy}{dt}\right)^{2}+\left (\frac{dz}{dt}\right)^{2}} dt \end{align*} \]

更一般地形式 $$ L=\int_a^b\left|\mathbf{r}'(t)\right|dt $$

单个曲线 $C$ 可以由多个向量函数表示

\[ \mathbf{r}_1(t)=\langle t,t^2,t^3\rangle\quad1\leqslant t\leqslant2 \]

\[ \mathbf{r}_2(u)=\langle e^u,e^{2u},e^{3u}\rangle\quad0\leqslant u\leqslant\ln2 \]

一条单一的曲线 $C$ 可以由多个向量函数表示。例如，扭结三次曲线 $C$ 不仅可以用向量函数 r1(t)=⟨t,t2,t3⟩ （1≤t≤2）表示，还可以用函数 r2(u)=⟨eu,e2u,e3u⟩（0≤u≤ln⁡2）表示，其中 t=eu 是 t 和 u 之间的联系。我们说方程 4 和 5 是曲线 C 的参数化形式。如果使用方程 3 计算曲线 C 的长度，无论使用方程 4 还是方程 5，结果都会相同。一般而言，使用方程 3 计算弧长时，答案与所使用的参数化无关。

为什么与所使用的参数化无关？因为曲线的长度只取决于曲线本身，而不依赖于用来描述曲线的具体参数化方式。不同的参数化只是提供了不同的方式来追踪或描述同一曲线，它们最终会给出相同的长度结果。这是因为在计算弧长时，我们实际上是在测量曲线在指定区间内的实际距离，而不是参数变化的速度或范围。即使参数化不同，曲线的实际形状和路径长度保持不变。因此，使用不同的参数化不会改变曲线的总长度。

什么是参数方程参数方程是一种数学工具，用于描述曲线或曲面，它使用一个或多个变量（称为参数）来定义坐标系中的点。在三维空间中，参数方程通常包含三个方程式，每个方程式对应一个坐标轴（x, y, z）。参数方程允许我们更灵活地表达复杂的曲线和曲面，特别是那些不能简单地用标准函数表示的情况。参数方程的一个常见应用是描述物体在特定时间段内的运动轨迹，其中参数通常是时间。参数是一个变量，它控制着曲线或曲面的形状和位置。在上述例子中，t 就是参数，它代表时间或其他一些度量。参数方程的好处是可以更容易地处理非线性关系，因为它们允许每个坐标独立地随参数变化。例如，对于一个运动物体，参数可能是时间，而每个坐标方程则表示物体在相应时刻的位置。参数方程存在的原因是因为它们能够更好地捕捉曲线或曲面的动态特性。它们特别有用在物理学、工程学和其他领域，其中对象的运动或变化往往受到外部因素的影响，这些因素可以用参数来量化。此外，参数方程还使我们能够研究曲线的局部性质，例如切线方向和速度。在某些情况下，参数方程也是唯一能准确描述曲线的方式，特别是在曲线非常复杂的情况下。

The Arc Length Function

对向量函数的导数进行积分？

弧长函数 $s (t)$ 表征的是曲线 $C$ 上从起点 $r (a)$ 到点 $r (t)$ 的一段弧长。根据积分的基本定理，可以通过求解 $r' (t)$ 的绝对值的积分得到弧长函数。这意味着弧长函数的导数等于 $|r' (t)|$，这表明弧长函数的增长率与曲线上的速度相等。

这样，我们就可以用弧长作为参数重新参数化曲线，使得曲线的形状不再依赖于特定的坐标系统。例如，如果已知弧长函数 $s (t)$，我们可以通过找到 $t$ 关于 $s$ 的函数来重新参数化曲线。这样做的好处在于，当我们知道曲线上的某一点的弧长时，可以直接找到该点的坐标，而无需考虑原来的参数 $t$。