Functions of Two Variables
Definition
二元函数\(f\)是一种规则，它给定D集合内的每个有序实数对\((x, y)\) 取一个唯一的实数值，记作\(f(x, y)\)。\(D\)是\(f\)的域，它的值域是f取值的集合，即 \(\{f(x,y)\mid(x,y)\in D\}\)
域：对于一个函数 \(f:A\to B\)，集合 A 被称为函数 \(f\) 的域。这意味着 f 可以接受来自集合 \(A\) 中的任何元素作为输入，并且对于每个 \(a∈A\)，\(f(a)\) 是一个定义良好的输出值。 - f：函数的名称。 - A：函数的域（Domain），所有可能的输入值的集合。 - B：函数的陪域（Codomain），即所有可能的输出值的集合。 - 值域：函数实际输出的所有值的集合
我们经常写\(z = f(x, y)\)，明确指出f在一般点\((x, y)\)处的取值。\(x\)和\(y\)是自变量，而z是因变量。
二元函数的一个例子就是一个其域为 \(\mathbb{R}^2\) 子集，值域为实数集合的函数。一种可视化此类函数的方法是使用箭头图（见图1），其中域\(D\)作为\(xy\)平面的子集表示，值域是一组实数，在图中表现为\(z\)轴上的数字。例如，如果\(f(x, y)\)代表平金属板上点\((x, y)\)处的温度，我们可以将\(z\)轴视为显示记录温度的温度计。
\(\mathbb{R}^2\) 的含义
- \(\mathbb{R}\)：表示实数集，即所有实数的集合。
- \(\mathbb{R}^2\)：表示二维实数空间，它是由所有有序实数对\((x,y)\) 组成的集合。每个有序对 \((x,y)\) 可以看作是平面上的一个点，其中 \(x\) 和 \(y\) 分别是该点在两个坐标轴上的坐标。
子集 (Subset) 的含义
- 子集：如果集合 \(S\) 中的每一个元素都属于集合 \(T\)，那么 \(S\) 就是 \(T\) 的一个子集，记作 \(S\subseteq T\)。
如果给出了函数\(f\)的公式并且未指定域，则认为\(f\)的域是使给定表达式成为有效实数的所有点对\((x, y)\)的集合。
Example 4
求 \(g(x,y)=\sqrt{9-x^{2}-y^{2}}\) 的定义域和值域
Graphs
二元函数的图像可视化
定义
如果 \(f\) 是具有域 D 的二元函数，则 \(f\) 的图形是三维空间 \(\mathbb{R}^3\) 中所有满足 \(z=f(x,y)\) 并且 \((x,y)∈D\) 的点的集合。
就像单变量函数 \(f\) 的图形是一个曲线 \(C\) 具有方程 \(y=f(x)\)，二元函数 \(f\) 的图形是一个曲面 \(S\) 具有方程 \(z=f(x,y)\)。我们可以将 \(f\) 的图形想象为位于其域 \(D\) 上方或下方的 \(xy\)平面上方或下方（参见图 5）。
Example 5 画出函数 \(f(x,y)=6-3x-2y\) 的图像
Solution： 函数 f 可以表示为 \(z=6-3x-2y\) 或者 \(3x+2y+z=6\)，这表示了一个平面。
为了画出平面先找到交点，令 \(y=z=0\)，有 \(x=2\)；令 \(y=x=0\)，有 \(z=6\)；令 \(x=z=0\)，有 \(y=3\)
表示为图 6
该函数 \(f (x, y)\) 是一个特殊形式的线性函数，其图形是一个平面。
Level Curves
到目前为止，我们有两种可视化函数的方法：图标箭头图和图形。第三种方法是从地图制作者那里借鉴来的，即等高线图，在这种图上，具有相同高度的点被连接起来形成等高线，或称为水平曲线。
Definition
二元函数 \(f\) 的等高线是方程 \(f(x,y)=k\) 所表示的曲线，\(k\) 是一个常数（在函数 \(f\) 的取值范围内）。）
图层曲线（也称为等高/水平线）是一种用于可视化二维函数的方法，类似于地图上显示不同高度的线条。想象一下你在爬山，当你到达不同的海拔高度时，你会画一条线来标记那个高度。这些线可以帮助你理解地形的起伏和形状。同样地，对于一个数学函数，图层曲线是连接所有具有相同函数值的点的曲线。
举个简单的例子，想象一个山坡。当你站在山顶上，你可以看到周围的地面逐渐下降。这些下降的路径就是图层曲线，它们连接了所有处于同一高度的地方。当你向下看时，这些曲线看起来像是一系列的环，每个环代表一个特定的高度。当你向上看时，这些环变得更紧密，表明坡度变陡；当你向远处看时，环变得稀疏，表明坡度变缓。
水平曲线 \(f(x,y)=k\) 是函数 \(f\) 域中所有取给定值 k 的点的集合。换句话说，它显示了函数 f 在高度 k 处的位置。
从图11可以看出水平曲线与水平轨迹之间的关系。一级曲线 \(f(x,y)=k\) 只是在 \(z=k\) 水平面上函数 f 图形的投影线投射到 \(xy\) 平面。所以如果你画出函数的水平曲线，并将其视觉化升至指定高度，则可以在脑海中拼凑出图形。当水平曲线靠近时表面较陡峭，当它们远离时表面较为平坦。
想象你有一座山，这座山的形状可以用一个函数 \(z=f(x,y)\) 来描述，其中 \(x\) 和 \(y\) 是地面上的位置坐标，而 \(z\) 则是对应位置的高度。如果我们想要知道在某个特定高度 \(k\) 上山的轮廓是什么样子的，我们可以画出所有海拔高度恰好为 \(k\) 的点组成的线，这条线就是函数 \(f(x,y)\) 在 \(z=k\) 高度上的水平曲线。就是如图 11 所示，把 \(z\) 能取到的值用水平曲线画出来，就能想象到轮廓了。
海拔（Elevation），是指地面某个地点与海平面之间的垂直距离，即高度差。
Example 10 找出 \(k=-6,0,6,12\) 时函数 \(f(x,y)=6-3x-2y\) 的水平曲线
Solution 水平曲线可写成： \(6-3x-2y=k\quad\mathrm{or}\quad3x+2y+(k-6)=0\)
直线的一般方程可以写为： \(\(Ax+By+C=0\)\) 其中 \(A,B,C\) 为常数，约定\(AB≠0\)。 为了找出斜率，将方程转为斜截式，即 \(y=mx+b\)，\(m\) 为斜率，\(b\) 为 \(y\) 轴的截距。所以有： \(\(\begin{aligned}&By=-Ax-C\\&y=-\frac ABx-\frac CB\end{aligned}\)\) 以此 \(m=-A/B\)
所以原式中 \(m=-3/2\)。这意味着无论 \(k\) 值是多少，等高线都会保持相同的斜率，因为它们都是一系列平行的直线。
我想知道为什么是直线族 等高线方程是 \(3x+2y+(k−6)=0\)，这里的 k 是一个参数，可以取不同的值。对于每一个特定的 \(k\) 值，这个方程定义了一条具体的直线。由于 \(k\) 可以变化，因此我们可以得到一系列不同的直线，这些直线就构成了一个“直线族”。
平行线的斜率是固定的，所以它们不会改变。
- 当 \(k=−6\) 时，\(3x+2y−12=0\)
- 当 \(k=0\) 时，\(3x+2y−6=0\)
- 当 \(k=6\) 时，\(3x+2y=0\)
- 当 \(k=12\) 时，\(3x+2y+6=0\)
Functions of Three or More Variables
设一个三元函数 \(T=f(x,y,t)\)，这表示地球表面上的温度\(T\)取决于该点的经度x和纬度\(y\)以及时间\(t\)。三个变量的函数是一种规则，它将域 \(D\subset\mathbb{R}^3\) 内的每个有序三元组\((x, y, z)\)映射到唯一的实数，用\(f(x, y, z)\)表示。
EXAMPLE 14 找出 f 的定义域：\(f(x,y,z)=\ln(z-y)+xy\sin z\)
SOLUTION \(z-y>0\) 所以 \(D=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid z>y\}\)