Limits
定义
当 \((x,y)\) 趋于 \((a,b)\) 时，\(f(x,y)\) 趋于 \(L\)，则成函数 \(f\) 极限存在
对于一元的函数，取 \(x\to a\) 时，只有从左侧或者右侧逼近；但是对于二元函数，可以从无限多的方向接近 \((a,b)\)，如图 3
定义1指出，通过使 (x, y) 到 (a, b) 的距离足够小（但不是零），可以任意地减小 f(x, y) 和 L 之间的距离。定义只涉及 (x, y) 和 (a, b) 之间的距离，而不考虑接近方向。因此，如果极限存在，无论 (x, y) 如何接近 (a, b)，f(x, y) 必须趋向相同的极限。所以，如果我们能找到两条不同的路径，沿着这两条路径函数 f(x, y) 分别趋向不同的极限 \(L_1\) 和 \(L_2\)，那么 lim_{(x,y)→(a,b)} f(x, y) 就不存在。
让我们用一个高中学生容易理解的例子来解释函数极限的概念。 想象一下，你正在画一张地图，上面有一座山峰。这座山峰的高度可以用一个函数 f (x, y) 来描述，其中 x 和 y 是地图上的位置坐标，z 是山峰的高度。当你靠近山顶时，你会越来越接近山峰的实际高度。这就是函数 f (x, y) 在 (a, b) 处的极限。 假设你想知道山顶的确切高度，但你不能直接到达那里，因为你必须绕过一些障碍物。你只能从不同方向接近山顶。然而，无论你从哪个方向接近，只要你离山顶足够近，你都可以得到一个非常接近实际高度的估计。 现在，想象一下你有两个朋友，他们分别从不同的路线接近山顶。一个朋友从左边走，另一个从右边走。如果他们都告诉你他们的估计高度相同，那么你就知道山顶的高度就是那个值。但如果他们告诉你的高度不同，那意味着山顶实际上并没有一个确定的高度，也就是说，函数 f (x, y) 在 (a, b) 处没有极限。 在这个例子中，“ε”代表你与实际高度之间的误差范围，而“δ”代表你与山顶的距离。如果你想尽可能准确地估计山顶的高度，你需要尽量靠近山顶（减小 δ），这样你的估计就会在误差范围内（小于 ε）。 记住，对于双变量函数来说，你可以从很多不同的方向接近山顶，不仅仅是左右两侧。这意味着无论你从哪个方向接近，只要足够接近山顶，你的估计都应该是一样的。如果从不同的方向得到不同的结果，那么就没有极限。 这就是函数极限的基本概念。它告诉我们，当 x 和 y 越来越接近某个特定点 (a, b) 时，函数 f (x, y) 的行为应该是什么样子。
Example 1 证明 \(\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\) 不存在
Solution
观察它们从不同的方向（线段，比如直线抛物线）趋近于某个点的极限是否存在和一致。
当 \(y=0\) 时，\(f(x,0)=x^{2}/x^{2}=1\)，\(x\neq0\)，因此 \(\(f(x,y)\to1\quad\text{as}\quad(x,y)\to(0,0)\text{ along the x-axis}\)\)
当 \(x=0\) 时，\(f(0,y)=-y^{2}/y^{2}=-1\)，\(y\neq0\)，因此
\(\(f(x,y)\to-1\quad\mathrm{as}\quad(x,y)\to(0,0) \text{ along the y-axis}\)\)
在数学中，当我们谈论函数 f (x, y) 在点 (a, b) 的极限时，我们指的是当 (x, y) 趋近于 (a, b) 时，函数值 f (x, y) 的行为。这里的“趋近”是指 (x, y) 离 (a, b) 越来越近，但不等于 (a, b)。这是因为如果 (x, y) 等于 (a, b)，那么我们就已经在点 (a, b) 上了，此时讨论函数的极限就没有意义了。例如例 1，在 (0,0) 处没有定义，在这种情况下，我们需要研究函数在 (a, b) 周围的行为，而不是在 (a, b) 点本身。
Example 3 \(\mathrm{If} f(x,y)={\frac{xy^{2}}{x^{2} + y^{4}}}, \mathrm{does} \operatorname*{lim}_{(x, y)\to(0, 0)}f(x, y) \mathrm{exist?}\)
SOLUTION 当 \(y=0\) 时，\(f(x,0)=0\)，\(x\neq0\)，因此 \(\(f(x,y)\to0\quad\text{as}\quad(x,y)\to(0,0)\text{along the x-axis}\)\)
当 \(x=0\) 时，\(f(0,y)=0\)，\(y\neq0\)，因此 \(\(f(x,y)\to0\quad\mathrm{as}\quad(x,y)\to(0,0) \text{along the y-axis}\)\)
试着沿另一条直线趋于 \((0,0)\)，设 \(y=mx\)，\(m\) 为斜率，则有 \(\(f(x,y)=f(x,mx)=\frac{x(mx)^2}{x^2+(mx)^4}=\frac{m^2x^3}{x^2+m^4x^4}=\frac{m^2x}{1 + m^4x^2}\)\) \(\(f(x,y)\to0\quad\text{as}\quad(x,y)\to(0,0)\text{along}y=mx\)\)
再次设 \(x=y^{2}\)，有 \(\(f(x,y)=f(y^2,y)=\frac{y^2\cdot y^2}{(y^2)^2+y^4}=\frac{y^4}{2y^4}=\frac{1}{2}\)\) \(\(f(x,y)\to\frac12\quad\text{as}\quad(x,y)\to(0,0)\text{along}x=y^2\)\)
在多元函数的极限问题中，我们经常需要检查函数在不同路径上的极限是否一致。这里的路径是指从不同方向趋近于同一个点的过程。比如 \(y=0\)（x轴）、\(x=0\)（y轴）以及一些特定的曲线，比如 \(x=y\) 或 \(x=y^2\) 或 \(x=y-1\) 或 \(x=y^3\)。
因此，极限不唯一，给定函数极限不存在。
三维的图像怎么绘制抛物线呢?
Example 4
Continuity
Definition
二元函数在 \((a,b)\) 连续的条件是： \(\(\lim_{(x,y)\to(a,b)}f(x,y)=f(a,b)\)\) 如果 f 在 D 中每个点 (a, b) 都是连续的，称 f 在区域 D 上连续。在一个点上连续的意思是，当输入值 (x, y) 趋近于该点 (a, b) 时，函数值也趋近于 f(a, b)。
也就是说，取的每个点函数都有定义。 - 极限存在 - 函数值存在 - 极限等于函数值 从图像上看，函数在该点没有跳跃、孔洞或其他不寻常的行为。
EXAMPLE 8