Partial Derivatives
偏导偏导，偏偏向你求导
有二元函数 \(f(x,y)\) ，设 \(y\) 为固定值，\(y=b\)，\(b\) 为常数，这时 \(f(x,y)\) 可认为是一元函数，即 \(g(x)=f(x,b)\)。如果 \(g\) 在 \(a\) 处可导，则称 \(f\) 关于 \(x\) 在 \((a,b)\) 的偏导数，表示为 \(f_x(a,b)=g'(a)\)，因此：
由导数的定义有： \(\(g'(a)=\lim_{h\to0}\frac{g(a+h)-g(a)}h\)\)
所以 (1) 变成： \(\(f_x(a,b)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h,b)-f(a,b)}h \tag{2}\)\)
对 \(y\) 也可以执行上述操作，也就是令 \(x\) 为固定值： $$ f_y(a,b)=\lim_{h\to0}\frac{f(a,b+h)-f(a,b)}h\tag{3} $$
如果在 \((a, b)\) 都变化： \(\(\begin{align} f_{x}(x, y) &= \lim_{h\to 0}\frac{f (x+h, y)-f (x, y)}{h} \\ f_{y}(x, y) &= \lim_{h\to 0}\frac{f (x, y+h)-f (x, y)}{h} \end{align} \tag{4}\)\)
各种各样的表达符号，如果 \(z=f(x,y)\)： $$ \begin{aligned} f_x (x, y) &= f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}f (x, y) = \frac{\partial z}{\partial x} = f_1 = D_1 f = D_xf \ f_y (x, y) &= f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}f (x, y) = \frac{\partial z}{\partial y} = f_2 = D_2 f = D_yf \end{aligned} $$
如何找 \(z=f(x,y)\) 的偏导数？如何解题？ 固定一个变量为常数，接着对 \(z\) 进行求导，因此有新的一条，求完导的函数出现，再根据题目套相应的值。
EXAMPLE 1 \(\mathrm{If~}f(x,y)=x^3+x^2y^3-2y^2,\mathrm{find~}f_x(2,1)\mathrm{~and~}f_y(2,1).\)
SOLUTION 令 \(y\) 为常数，则 \(f\) 关于 \(x\) 的导数为： \(\(f_x(x,y)=3x^2+2xy^3\)\) 所以 \(f_x (2,1)=16\)
令 \(x\) 为常数，则 \(f\) 关于 \(y\) 的导数为： \(\(\begin{aligned}&f_y(x,y)=3x^2y^2-4y\\&f_y(2,1)=8\end{aligned}\)\)
Interpretations of Partial Derivatives
1. 曲面 \(S\) 和轨迹 \(C_1, C_2\):
图形展示了曲面 \(S\)，它是函数 \(f (x, y)\) 的图像。通过固定 \(y=b\)，我们可以得到曲线 \(C_1\)，它是由垂直于 \(y\) 轴的平面 \(y=b\) 切割曲面 \(S\) 得到的。类似地，通过固定 \(x=a\)，我们得到曲线 \(C_2\)，它是由垂直于 \(x\) 轴的平面 \(x=a\) 切割曲面 \(S\) 得到的。
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曲线 \(C_1\) 和 \(C_2\) 的切线: 曲线 \(C_1\) 是函数 \(g (x)=f (x, b)\) 的图像，因此它的斜率为 \(g' (a)=f_x (a, b)\)，其中 \(f_x\) 是 \(x\) 的偏导数。曲线 \(C_2\) 是函数 \(G (y)=f (a, y)\) 的图像，其斜率为 \(G' (b)=f_y (a, b)\)，其中 \(f_y\) 是 \(y\) 的偏导数。
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偏导数的几何解释: 在点 \((a, b, c)\) 处，\(f_x (a, b)\) 是曲线 \(C_1\) 的切线的斜率，\(f_y (a, b)\) 是曲线 \(C_2\) 的切线的斜率。换句话说，它们分别是曲面 \(S\) 在 \(y=b\) 平面上的轨迹 \(C_1\) 和在 \(x=a\) 平面上的轨迹 \(C_2\) 的切线的斜率。
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变化率: 偏导数还可以解释为变化率。例如，\(\frac{\partial z}{\partial x}\) 表示 \(z\) 对 \(x\) 的变化率，即 \(y\) 固定时 \(z\) 如何随 \(x\) 改变；\(\frac{\partial z}{\partial y}\) 表示 \(z\) 对 \(y\) 的变化率，即 \(x\) 固定时 \(z\) 如何随 \(y\) 改变。
总之，偏导数提供了曲面 \(S\) 在某一点 \((a, b, c)\) 处沿着 \(x\) 和 \(y\) 方向的变化率，分别对应于曲线 \(C_1\) 和 \(C_2\) 的切线斜率。此外，它们还反映了 \(z\) 在固定 \(y\) 或 \(x\) 条件下的变化速度。
EXAMPLE 3 实际意义来说，偏导可以看成当一个值由二元决定时，其中一个固定后，另一个变化的速度/斜率是多少。比如测 BMI 值， \(\(B(m,h)=\frac m{h^2}\)\) \(m\) 表示体重，\(h\) 表示身高。当体重固定时，身高变化，将函数关于 \(h\) 进行求导， \(\(\frac{\partial B}{\partial h}\left(m,h\right)=\frac{\partial}{\partial h}\left(\frac{m}{h^2}\right)=m\left(-\frac{2}{h^3}\right)=-\frac{2m}{h^3}\)\) 这时候就能看出来，当体重不变，\(h\) 变化后，BMI 相对于身高的增长的速度。例如一名体重为 64 kg，身高为 1.68 m 的人类： \(\(\frac{\partial B}{\partial h}(64, 1.68)=-\frac{2\cdot64}{(1.68)^3} \approx -27 (\mathrm{kg/m^2})/\mathrm{m}\)\) 因此，如果这个男人还在生长，他的体重保持不变，而他的身高增加了一点点，比如 1 厘米，那么他的 BMI 将减少27(0.01)= 0.27
Functions of More Than Two Variables
三元函数关于 \(x\) 的偏导，\(y,z\) 为固定常数，形如： \(\(f_x(x,y,z)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h,y,z)-f(x,y,z)}h\)\)
更多变量： \(\(\frac{\partial u}{\partial x_i}=\lim_{h\to0}\frac{f(x_1,\ldots,x_{i-1},x_i+h,x_{i+1},\ldots,x_n)-f(x_1,\ldots,x_i,\ldots,x_n)}h\)\) 写作： \(\(\frac{\partial u}{\partial x_i}=\frac{\partial f}{\partial x_i}=f_{x_i}=f_i=D_if\)\)
EXAMPLE 6 \(\mathrm{Find~}f_x,f_y,\mathrm{~and~}f_z\mathrm{~if~}f(x,y,z)=e^{xy}\ln z.\)
Higher Derivatives
如果 \(f\) 是两个变量的函数，那么它的偏导数 \(f_x\) 和 \(f_y\) 也是两个变量的函数。所以 \((f_x)_x,(f_x)_y,(f_y)_x,(f_y)_y\) 为二阶导，角标是谁就对谁求导，表示： \(\begin{aligned} (f_{x})_{x}=f_{xx}=f_{11}=\frac{\partial}{\partial x}\left (\frac{\partial f}{\partial x}\right)=\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}=\frac{\partial^{2}z}{\partial x^{2}}\\(f_{x})_{y}=f_{xy}=f_{12}=\frac{\partial}{\partial y}\left (\frac{\partial f}{\partial x}\right)=\frac{\partial^{2}f}{\partial y \partial x}=\frac{\partial^{2}z}{\partial y \partial x}\\(f_{y})_{x}=f_{yx}=f_{21}=\frac{\partial}{\partial x}\left (\frac{\partial f}{\partial y}\right)=\frac{\partial^{2}f}{\partial x \partial y}=\frac{\partial^{2}z}{\partial x \partial y}\\(f_{y})_{y}=f_{yy}=f_{22}=\frac{\partial}{\partial y}\left (\frac{\partial f}{\partial y}\right)=\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}=\frac{\partial^{2}z}{\partial y^{2}} \end{aligned}\)
克莱罗定理
\(n\) 元函数的二阶偏导，无论是先对哪个进行求导，他们结果是一样的。 \(\(f_{xy}(a,b)=f_{yx}(a,b)\)\)
三阶导的定义为： \(\(f_{xyy}=(f_{xy})_y=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial^2f}{\partial y \partial x}\right)=\frac{\partial^3f}{\partial y^2 \partial x}\)\)
同样能用克莱罗定理证明 \(f_{xyy}=f_{yxy}=f_{yyx}\)