如何求立体的体积
Review of the Definite Integral
一元函数的定积分，如果 \(f(x)\) 在 \(a\le x\le b\) 有定义，我们可以从区间 \([a,b]\) 切开为多个子区间，每个子区间的宽度为 \(\Delta x=(b-a)/n\) (\(\Delta x\) 是一个很小的值，尤其是 \(n\) 增大的时候)，在每个子区间上选择一个样本点 \(x_i^*\)（如图所示，随机一个点），并计算 \(f(x_i^*)\) 的值。
黎曼和就是样本点处的函数值与小区间宽度乘积(矩形的面积公式长 x 宽)的总和： \(\(\sum_{i=1}^{n}f(x_i^*)\Delta x \tag{1}\)\)
当 \(n\to \infty\) 取和的极限，也就是从 \(a\) 到 \(b\) 的定积分：
在特别的情况下，\(f(x) \ge 0\)，黎曼和可以被视为曲线 \(y=f(x)\) 下方的近似矩形面积之和，而 \(\int_{a}^{b}f(x)dx\) 则代表了曲线 \(y=f(x)\) 从 \(a\) 到 \(b\) 的面积。
Volumes and Double Integrals
设一个在闭合矩形区域的二元函数 \(f(x,y)\)： \(\(R=\begin{bmatrix}a,b\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}c,d\end{bmatrix}=\begin{Bmatrix}(x,y)\in\mathbb{R}^2&a\leq x\leq b,c\leq y\leq d\end{Bmatrix}\)\)
假设 \(f(x,y) \ge 0\)，它的图形是一个曲面 \(z=f (x, y)\)，目标是要找到位于 \(R\) 上方且在该曲面下方的立体 \(R\) 的体积。
集合 \(S\) 描述的是在三维空间中，位于 \(x-y\) 平面上方、由函数 \(f(x,y)\) 所定义的曲面之下的所有点。
Step 1 将矩形 \(R\) 等分为 \(m\) 个子区间 \([x_{i-1},x_{i}]\) 和 \(n\) 个子区间 \([y_{j−1},y_{j}]\)，每个子区间的宽度分别为 \(\Delta x=\frac{b-a}{m}\) 和 \(\Delta y=\frac{d-c}{n}\)。
Step 2 通过绘制平行于坐标轴的线穿过这些子区间的终点，形成 \(mn\) 个子矩形 \(R_{ij}\)，每个子矩形的面积为 \(\Delta A=\Delta x \Delta y\)
Step 3 对于每个子矩形 \(R_{ij}\)，选择一个点 \((x_{ij}^*,y_{ij}^*)\) 作为代表点（这个代表点可以想象成子矩形的伸缩），可以近似 \(S\) 在每个 \(R_{ij}\) 的高度，如图四所示：
这个柱子的体积=长 × 宽 x 高= 底部长方形面积 x 高，也就是： \(\(f(x_{ij}^*,y_{ij}^*)\Delta A\)\)
如果我们对所有的长方形（底）都执行此操作，并将相应柱子的体积相加，就可以得到 \(S\) 总体积的一个近似值： \(\(V\approx\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^nf(x_{ij}^*,y_{ij}^*) \Delta A\)\)
如图 5 所示
由（3）有，随着 \(mn\) 的增加，近似值会变得更精确，因此： \(\(V=\lim_{m, n\to\infty}\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^nf(x_{ij}^*,y_{ij}^*) \Delta A \tag{5}\)\)
Definition 5
如果极限存在，则 \(f\) 在矩形 \(R\) 上的二重积分为： \(\(\iint\limits_Rf(x,y) dA=\lim\limits_{m, n\to\infty}\sum\limits_{i=1}^m\sum\limits_{j=1}^nf(x_{ij}^*,y_{ij}^*) \Delta A\)\)
（5）被称为双 Riemann 求和，用作对双重积分值的近似。注意到它与单变量函数的 Riemann 求和（见式 1）非常相似。如果 \(f\) 是正值函数，那么双 Riemann 求和表示柱体的体积之和，如图 5 所示，是对 \(f\) 图像下的体积的一个近似。
样本点 \((x_{ij}^*,y_{ij}^*)\) 可以是 \(R_{ij}\) 中任意一点，将它设为 \(R_{ij}\) 的右上角点 \((x_{i}^*,y_{j}^*)\)（如图 3；样本点可以是随意一点，只要合理），则表达式可变得更简单：
通过比较定义 4 和定义 5，可以发现体积可以表示为双重积分： \(\(V=\iint_Rf(x,y)dA \tag{6}\)\)
其中 \(V\) 是位于矩形 \(R\) 上方且表面 \(z=f(x,y)\) 下方的立体的体积。
The Midpoint Rule
二重积分的中值定理。意味着在 \(R_{ij}\) 中是使用的样本点 \((x_{i}^*,y_{j}^*)\) 是 \(R_{ij}\) 的中心点 \((\bar{x}_i,\bar{y}_j)\)。
\(\bar{x}_i\) 是 \(\begin{bmatrix}x_{i-1},x_i\end{bmatrix}\) 中点，表示的是 \(x\) 方向上第 \(i\) 个子区间的中点；\(\bar{y}_i\) 是 \(\begin{bmatrix}y_{j-1},y_j\end{bmatrix}\) 中点，表示的是 \(y\) 方向上第 \(j\) 个子区间的中点。
如何计算？ 假设将区间 \([a,b]\) 在 \(x\) 方向上均匀分割 \(m\) 个子区间，则每个子区间的宽度为 \(\Delta x = \frac{b-a}{m}\)。第 \(i\) 个子区间的范围是从 \(x_{i-1}=a+(i-1) \Delta x\) 到 \(x_{i}=a+i \Delta x\)。（第 \(i\) 个的意思是，左端点是 \(i-1\)，右端点是 \(i\)，而乘上 \(\Delta x\) （宽度）是这个区间有多宽）同时，对于 \(y\) 也有同样的代入。
Example 3
Iterated Integrals
在计算多重积分时将其中一些变量视为任意常数，重复进行多次积分而得到的积分。例如，对于二元函数 \(f(x,y)\) 的二重积分，先将 \(y\) 视为常数，并且关于 \(x\) 积分 \(\int f(x,y)\, dx\)，得到关于 \(y\) 的函数，进一步对 \(y\) 进行积分，这就得到了逐次积分。
设 \(f\) 是 \(R=[a,b] \times [a,b]\) 上可积的二元函数，\(\int_{c}^{d} f(x,y)\, dy\) 表示为，固定 \(x\)（和偏导类似，将其看作一个常数），并对 \(f(x,y)\) 求 \(y\) 的积分，从 \(y=c\) 到 \(y=d\)。这一过程被称为关于 \(y\) 的部分积分。
现在 \(\int_{c}^{d} f(x,y)\, dy\) 是一个依赖于 \(x\) 的数，因此它定义了一个 \(x\) 的函数： \(\(A(x)=\int_c^df(x,y)dy\)\)
接下来，再对 \(A(x)\) 关于 \(x\) 从 \(x=a\) 积到 \(x=b\) ： \(\(\int_a^bA(x) dx=\int_a^b\left[\int_c^df(x,y) dy\right] dx \tag{7}\)\)
右边的积分称为迭代积分。通常省略括号，因此： \(\(\int_b^d\int_c^df(x,y) dy dx=\int_a^b\left[\int_c^df(x,y) dy\right] dx \tag{8}\)\)
这意味着我们先对 \(y\) 从 \(c\) 积到 \(d\)，然后再对 \(x\) 从 \(a\) 积到 \(b\)。
同样地，逐次积分： \(\(\int_d^b\int_a^cf(x,y) dx dy=\int_d^b\left[\int_a^bf(x,y) dx\right] dy \tag{9}\)\)
意味着我们先对 \(x\) 从 \(a\) 积到 \(b\)，然后再对 \(y\) 从 \(c\) 积到 \(d\)。
菲比尼定理 （Fubini's Theorem）
二重积分可转为两次一元积分进行计算
Average Value
一元积分的均值为： \(\(f_{\mathrm{ave}}=\frac1{b-a}\int_a^bf(x)\mathrm{~}dx\)\)
对于二重积分有： \(\(f_{\mathrm{ave}}=\frac{1}{A(R)}\iint\limits_Rf(x,y) dA\)\)
其中 \(A(R)\) 表示矩形 \(R\) 的面积。
如何 \(f(x,y)\ge 0\)，则方程： \(\(A(R)\times f_{ave}=\iint_Rf(x,y)dA\)\)
表示底为 \(R\) ，高度为 \(f_{avg}\) 的盒子具有与位于 \(f\) 图像下方的立体相同的体积。（也就是说，原本不规则的图像通过积分近似了体积，接着你用平均的高度乘以矩形面积，能得出与积分出来相同的体积）。如图 17 所示，将突出的部分填补到下面，体积是一样的。
