对于一元积分，积分的区域总是一个区间。但是对于二重积分，我们希望不仅能在矩形上，还能在各种各样形状的区域 \(D\) 上对函数 \(f\) 进行积分，如图 1 。

假设 \(D\) 有界，也就是能计算出实值，这意味着 \(D\) 可以被矩形区域 \(R\) 包围，如图 2

因此有了一个在定义域 \(R\) 上的新函数 \(F\) \(\(F(x,y)=\begin{cases}f(x,y)&\text{if}\enspace(x,y)\text{ is in }D\\0&\text{if}\enspace(x,y)\text{ is in }R\text{ but not in }D\end{cases} \tag{1}\)\)

这条公式第二行为什么取 0 呢？它的意思是假如取到的 \((x,y)\) 不在 \(D\) 上而是在 \(R\) 上，那么算出来的函数值不应该是 \(R\) 和 \(D\) 的共同函数值，想要算出这种不规则的图像，需要用规则的图形来判断，所以规定为 0。

如果 \(F\) 在 \(R\) 上可积，则我们定义 \(D\) 上的 \(f\) 的双重积分为：

\[\iint\limits_{D}f(x,y) dA=\iint\limits_{R}F(x,y) dA\quad\mathrm{where~}F\text{ is given by Equation 1} \tag{2}\]

因为 \(D\) 外部的 \(F(x,y)\) 的值为零，所以积分也为 0。这意味着只要 \(R\) 包含 \(D\)，使用什么矩形 \(R\) 都没关系。

当 \(f(x,y)\ge 0\) 时，我们仍然可以将视为高于 \(D\) 并且在表面 \(z=f(x, y)\) （\(f\) 的图形）上方的立体的体积。可观察图 3 和图 4

图 4 还显示了 \(F\) 可能在 \(D\) 的边界点处存在不连续性。

不连续性是指，函数输入某个值得到的输出突然跳跃或者没有定义则具有不连续性，该函数称为不连续函数。比如 \(f(x)=\frac{1}{x},x \in \mathbb{R}\)

如果 \(f\) 在 \(D\) 上的二重积分存在，则有两种类型存在。

一种称为第一类的平面区域 \(D\) 当它位于两个连续函数的图像之间，即

\[D=\begin{Bmatrix}(x,y)&a\leqslant x\leqslant b,&g_1(x)\leqslant y\leqslant g_2(x)\end{Bmatrix}\]

\(g_{1},g_{2}\) 在 \([a,b]\) 上连续，如图 5 所示

如果 \(f\) 在类型 1 上的区域 \(D\) 上连续，使得

\[D=\begin{Bmatrix}(x,y)&a\leqslant x\leqslant b,&g_1(x)\leqslant y\leqslant g_2(x)\end{Bmatrix} \]

则有

\[\iint\limits_{D}f(x,y) dA=\int\limits_{a}^{b}\int\limits_{g_{1}(x)}^{g_{2}(x)}f(x,y) dy dx \tag{3}\]

第二类的平面区域 \(D\) 当它位于两个连续函数 \(h_{1}\) 和 \(h_{2}\) 的图像之间，即

\[D=\begin{Bmatrix}(x,y)&c\leqslant y\leqslant d,&h_1(x)\leqslant x\leqslant h_2(y)\end{Bmatrix} \tag{4}\]

如图 7 所示

根据（3）则有： \(\(\iint\limits_{D}f(x,y) dA=\int\limits_{c}^{d}\int\limits_{h_{1}(y)}^{h_{2}(y)}f(x,y) dy dx \tag{5}\)\)

这两种类型的区别在于，类型 1 在 \(x\) 的区间是确定的，而 \(y\) 是不规则的，因此需要引入一个函数来，根据它的值来确定 \(y\) 的位置；类型 2 反之。

Properties of Double Integrals

既不是类型 1 也不是类型 2 咋整？比如图 18

观察右侧图可以看出，这个图形可以分为两个来看待，因此有：

\[\iint\limits_{D}f(x,y) dA=\iint\limits_{D_1}f(x,y) dA +\iint\limits_{D_2}f(x,y) dA \tag{9}\]